Что такое рациональные числа

Рациональное число — это число, которое можно записать в виде обыкновенной дроби, где числитель и знаменатель — целые числа, а знаменатель не равен нулю. К рациональным относятся все целые числа, обыкновенные и десятичные дроби, а также любая периодическая десятичная дробь. Когда спрашивают, что такое рациональные числа, имеют в виду именно эту способность выразить число отношением двух целых — в отличие от иррациональных чисел, которые такой дробью не записываются.

$\dfrac{m}{n}, \ m, n \in \mathbb{Z}, \ n \neq 0$

Разбор по случаям

Примеры

Дробь как рациональное число. Число $\frac{3}{4}$ — рациональное: числитель $3$ и знаменатель $4$ целые, а знаменатель не равен нулю. Такую дробь можно записать и десятичной: $0{,}75$. Она обрывается на втором знаке после запятой, поэтому относится к конечным десятичным дробям, которые тоже входят в множество рациональных чисел.

Периодическая дробь. Число $0{,}(3)$, то есть $0{,}333\ldots$, тоже рациональное, потому что равно обыкновенной дроби $\frac{1}{3}$. Цифра $3$ после запятой повторяется бесконечно, и это не мешает числу оставаться рациональным — периодическая десятичная дробь всегда сводится к дроби с целым числителем и знаменателем.

Частые ошибки

• Иррациональные числа вроде корня из двух принимают за рациональные, забывая, что их нельзя записать конечной или периодической дробью.
• Считают, что дробью можно записать любое число, и не проверяют, что числитель и знаменатель должны быть именно целыми.
• Забывают, что ноль в знаменателе запрещён, и предлагают дробь вида 5/0 как пример рационального числа.

Коротко

Итак, что такое рациональные числа, определяет одно условие: число можно представить дробью с целым числителем и ненулевым целым знаменателем. Сюда входят целые числа, обыкновенные дроби и все десятичные дроби — и конечные, и периодические, а вот корни и бесконечные непериодические дроби в это множество не попадают.