Что такое действительные числа

Действительные числа — это все числа, которые можно изобразить точкой на числовой прямой: натуральные, целые, дробные и иррациональные. Множество объединяет рациональные числа, представимые дробью, и иррациональные, которые дробью не выражаются. Каждому действительному числу соответствует ровно одна точка прямой, и наоборот. Ответ на вопрос, что такое действительные числа, простой: это объединение рациональных и иррациональных чисел. Такую прямую называют координатной.

$\mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{I}$

Разбор по случаям

Примеры

Число 5 на числовой прямой. Число $5$ — действительное, потому что ему соответствует единственная точка на числовой прямой правее нуля. Оно одновременно натуральное, целое и рациональное: его можно записать дробью $\frac{5}{1}$. Расстояние от нуля до этой точки равно $5$ единичным отрезкам, а другие числа этого множества, например $-3$ или $2{,}5$, тоже находят своё место — левее нуля или между целыми точками.

Иррациональное число на прямой. Число $\sqrt{2} \approx 1,4142\ldots$ тоже действительное: ему соответствует точка между $1$ и $2$ на числовой прямой, хотя точной дробью его не выразить.

Так видно, что это множество включает не только дроби, но и бесконечные непериодические десятичные записи. Между любыми двумя точками прямой найдётся ещё одно действительное число, поэтому множество называют непрерывным.

Частые ошибки

• Считают действительные и рациональные числа одним и тем же множеством, забывая про иррациональные числа вроде корня из двух.
• Путают числовую прямую с отрезком: действительных чисел на любом, даже самом коротком участке прямой, бесконечно много.
• Забывают, что 0 тоже действительное число: оно рациональное, целое и одновременно натуральным не считается в некоторых определениях, хотя по модулю равно самому себе.

Коротко

Действительные числа объединяют рациональные и иррациональные и покрывают всю числовую прямую без пропусков. Ответ на вопрос, что такое действительные числа, стоит запомнить вместе с примерами 5, −3 и √2 — каждое из них находит своё место на прямой.