Что такое рациональные и иррациональные числа

Рациональное число — это число, которое можно представить в виде обыкновенной дроби с целым числителем и натуральным знаменателем, а иррациональное число представить такой дробью нельзя: его десятичная запись бесконечна и не имеет периода. К иррациональным относятся большинство квадратных корней и число пи. Вместе они отвечают на вопрос, что такое рациональные и иррациональные числа, в школьном курсе алгебры.

$a = \frac{m}{n}, \quad m \in \mathbb{Z},\ n \in \mathbb{N}$

Разбор по случаям

Примеры

Рациональное число. Дробь $0{,}75$ — рациональное число: её можно записать как обыкновенную дробь $\frac{3}{4}$, где числитель и знаменатель — целые числа, а десятичная запись конечна. Любое число с конечной или периодической десятичной записью всегда представимо отношением двух целых чисел, поэтому относится к рациональным.

Иррациональное число. Число $\sqrt{2}$ — иррациональное: его нельзя представить дробью $\frac{m}{n}$ с целыми $m$ и $n$, а его десятичная запись $1{,}41421356\ldots$ бесконечна и не имеет периода, сколько бы знаков ни выписывать. Поэтому $\sqrt{2}$ записывают точно только под знаком корня, а не обыкновенной или конечной десятичной дробью, и в вычислениях чаще округляют.

Частые ошибки

• Иррациональные числа считают просто «очень длинными» дробями, забывая, что их запись бесконечна и непериодична.
• Корень из любого числа принимают за иррациональное, хотя корень из точного квадрата, например 4, даёт рациональное число.
• Периодическую десятичную дробь ошибочно относят к иррациональным, хотя она всегда представима обыкновенной дробью.

Коротко

Рациональные числа представляются дробью с целым числителем и натуральным знаменателем, а иррациональные — нет, их десятичная запись бесконечна и непериодична. Вместе рациональные и иррациональные числа составляют все действительные числа, и в этом состоит ответ на вопрос, что такое рациональные и иррациональные числа.