Что такое иррациональные числа

Иррациональные числа — это числа, которые нельзя записать обыкновенной дробью с целым числителем и знаменателем. Их десятичная запись бесконечна и не повторяется никаким периодом, в отличие от рациональных дробей. К иррациональным относят квадратные корни из чисел, не являющихся точными квадратами, а также числа π и e. Ответ на вопрос, что такое иррациональные числа, короткий: это все действительные числа за пределами множества рациональных.

$x \neq \frac{p}{q}, \quad p, q \in \mathbb{Z},\ q \neq 0$

Разбор по случаям

Примеры

Иррациональность √2. Число $\sqrt{2}$ нельзя представить дробью $\frac{p}{q}$ с целыми p и q: если бы такая дробь существовала в несократимом виде, то $p^2 = 2q^2$ заставило бы и p, и q быть чётными одновременно, а это противоречит несократимости.

Поэтому $\sqrt{2} \approx 1.4142135\ldots$ — бесконечная непериодическая дробь, и число относят к иррациональным.

Такое доказательство от противного впервые связывают с пифагорейцами.

Иррациональность числа π. Отношение длины окружности к диаметру равно $\pi \approx 3,14159\ldots$ и не выражается конечной или периодической дробью, хотя измерить окружность и диаметр можно точно. Иррациональность числа доказана математически, а не приближённо: цифры после запятой не подчиняются никакой закономерности. Из-за этого $\pi$ округляют для расчётов, например берут $\pi \approx 3,14$. Поэтому в задачах пишут приближённое значение с оговоркой о округлении.

Частые ошибки

• Считают, что любая бесконечная десятичная дробь иррациональна, забывая, что периодические дроби вроде 0,333… равны рациональному числу 1/3.
• Путают иррациональность с приближённым значением: округление числа π до 3,14 не делает его рациональным, ведь точного значения дробью не существует.
• Полагают, что все квадратные корни иррациональны, хотя корень из точного квадрата, например √4 = 2, — число рациональное.

Коротко

Иррациональные числа нельзя выразить отношением целых чисел, и их десятичная запись не повторяется. Ответ на вопрос, что такое иррациональные числа, стоит запомнить вместе с примерами √2, π и e — они и составляют эту группу чисел.