Что такое иррациональные числа в математике

Иррациональные числа — это числа, которые нельзя представить в виде обыкновенной дроби с целым числителем и целым, не равным нулю знаменателем. Их десятичная запись бесконечна и не имеет периода. Типичные примеры — квадратные корни из чисел, не являющихся полными квадратами, и константа пи. Отвечая на вопрос, что такое иррациональные числа в математике, обычно поясняют, что вместе с рациональными числами они образуют множество действительных чисел, но не пересекаются с ним по своим элементам.

$x \ne \frac{p}{q}$

Разбор по случаям

Примеры

Иррациональность корня из двух. Число $\sqrt{2} \approx 1{,}41421356\ldots$ нельзя записать в виде дроби $\frac{p}{q}$ с целыми числителем и знаменателем.

Его десятичная запись продолжается бесконечно, и в ней нет повторяющегося блока цифр, в отличие от дробей вида $\frac{1}{3} = 0{,}333\ldots$.

Именно поэтому квадратный корень из двух — классический пример иррационального числа в школьном курсе.

Рациональное число как контрпример. Число $0{,}25$ на первый взгляд похоже на бесконечную дробь, но его можно записать как $\frac{1}{4}$, поэтому оно рациональное, а не иррациональное. Число $2{,}333\ldots$ тоже рационально, потому что тройка повторяется с постоянным периодом и равно $\frac{7}{3}$. Периодичность или конечность записи — главный признак, что число не относится к иррациональным.

Частые ошибки

• Считают любую бесконечную десятичную дробь иррациональной, забывая проверить её на периодичность.
• Путают иррациональные числа с отрицательными, хотя знак числа никак не связан с иррациональностью.
• Думают, что корень из любого числа иррационален, хотя корень из полного квадрата даёт целое число.

Коротко

Иррациональные числа не выражаются обыкновенной дробью и записываются бесконечной непериодической десятичной дробью, в отличие от рациональных чисел. Понимание того, что такое иррациональные числа в математике, опирается именно на признак периодичности десятичной записи, а не на величину или знак числа.