Формула третьего начального момента

Формула третьего начального момента определяет математическое ожидание третьей степени случайной величины. Для дискретной величины третий начальный момент находится как сумма произведений кубов всех возможных значений на их вероятности: $\alpha_3 = \sum x_i^3 p_i$.

Для непрерывной величины используется интеграл по всей области определения: $\alpha_3 = \int_{-\infty}^{\infty} x^3 f(x) dx$.

Понятие третий начальный момент помогает анализировать асимметрию распределения и вычислять его центральные моменты.

$\alpha_3 = M[X^3]$

Разбор по случаям

Примеры

Дискретная величина. Дано: $X$ принимает значения $1$ и $2$ с вероятностями $p_1 = 0,4$ и $p_2 = 0,6$. Требуется найти третий начальный момент. Решение: применяем формулу $\alpha_3 = \sum x_i^3 p_i$.

Подставляем имеющиеся данные: $\alpha_3 = 1^3 \cdot 0,4 + 2^3 \cdot 0,6 = 1 \cdot 0,4 + 8 \cdot 0,6 = 0,4 + 4,8 = 5,2$.

Ответ: третий начальный момент равен $5,2$.

Непрерывная величина. Дано: плотность вероятности $f(x) = 2x$ на отрезке $[0, 1]$ и $f(x) = 0$ вне его. Найдем третий начальный момент $\alpha_3$.

Решение: вычисляем интеграл по формуле $\alpha_3 = \int_{0}^{1} x^3 \cdot (2x) dx = 2 \int_{0}^{1} x^4 dx$.

После интегрирования получаем $2 \cdot [\frac{x^5}{5}]_{0}^{1} = 2 \cdot \frac{1}{5} = 0,4$.

Ответ: третий начальный момент равен $0,4$.

Экспоненциальное распределение. Пусть непрерывная случайная величина $X$ описывает время ожидания обслуживания в минутах и имеет экспоненциальное распределение с параметром интенсивности $\lambda = 2$. Плотность вероятности задается функцией $f(x) = 2 e^{-2x}$ для всех $x \ge 0$.

Рассчитаем третий начальный момент через определенный интеграл $\alpha_3 = \int_{0}^{\infty} x^3 \cdot 2 e^{-2x} dx$.

Применяя свойства гамма-функции или трехкратное интегрирование по частям, вычисляем аналитическое выражение $\alpha_3 = \frac{6}{\lambda^3}$.

Подставим числовое значение параметра $\lambda = 2$: $\alpha_3 = \frac{6}{2^3} = \frac{6}{8} = 0{,}75$.

Найденное число $0{,}75$ характеризует кубическое математическое ожидание величины и необходимо для дальнейшего определения коэффициента асимметрии случайного процесса.

Частые ошибки

• Возведение всей суммы или интеграла в третью степень вместо возведения в куб самих значений случайной величины.
• Путаница между начальным моментом и центральным моментом, где дополнительно вычитается математическое ожидание.
• Забывание умножения куба значения на соответствующую вероятность или плотность распределения.

Коротко

Правильно примененная формула третьего начального момента позволяет быстро переходить к расчету скошенности и асимметрии распределения. В зависимости от типа случайной величины она выражается через сумму кубов значений с вероятностями или через интеграл от третьей степени.