Формула Тейлора для функции двух переменных

Формула Тейлора для функции двух переменных позволяет приближенно представить дифференцируемую функцию $f(x,y)$ в окрестности точки $(x_0,y_0)$ в виде многочлена. Она выражается через значение функции в точке и ее частные производные первого, второго и последующих порядков. Отрезая многочлен на некотором шаге, мы получаем приближенное значение с остаточным членом в форме Пеано или Лагранжа, обозначаемым как $R_n$.

$f(x,y) = f(x_0,y_0) + df(x_0,y_0) + \frac{1}{2!} d^2f(x_0,y_0) + \dots + \frac{1}{n!} d^nf(x_0,y_0) + R_n$

Разбор по случаям

Примеры

Первый порядок в точке (0,0). Разложим функцию $f(x,y) = e^{x+y}$ до первого порядка в точке $(0,0)$. Находим значения: $f(0,0) = 1$, частные производные $f_x' = e^{x+y}$, $f_y' = e^{x+y}$. В точке $(0,0)$ имеем $f_x'(0,0) = 1$ и $f_y'(0,0) = 1$. Подставляя производные в многочлен Тейлора первого порядка, получаем линейное приближение $f(x,y) \approx 1 + x + y$ с остаточным членом $o(\sqrt{x^2+y^2})$.

Второй порядок для многочлена. Найдем разложение функции $f(x,y) = x^2 y$ в окрестности точки $(1,2)$ по формуле второго порядка. Вычисляем $f(1,2) = 2$, производные $f_x'=2xy \to 4$, $f_y'=x^2 \to 1$, $f_{xx}''=2y \to 4$, $f_{xy}''=2x \to 2$, $f_{yy}''=0$.

Записываем результат: $f(x,y) \approx 2 + 4(x-1) + 1(y-2) + \frac{1}{2}[4(x-1)^2 + 4(x-1)(y-2)]$.

Этот метод позволяет точно раскладывать многочлены.

Второй порядок для экспоненциально-тригонометрической функци. Разложим функцию $f(x,y) = e^x \cos y$ по формуле Тейлора второго порядка (формуле Маклорена) в окрестности начальной точки $(0,0)$. Сначала вычисляем значение исходной функции в заданной точке: $f(0,0) = e^0 \cos 0 = 1$. Затем находим частные производные первого порядка: $f_x(x,y) = e^x \cos y$, откуда получаем $f_x(0,0) = 1$, и $f_y(x,y) = -e^x \sin y$, что дает $f_y(0,0) = 0$. На следующем шаге рассчитываем все частные производные второго порядка: $f_{xx}(x,y) = e^x \cos y$, следовательно $f_{xx}(0,0) = 1$; смешанную производную $f_{xy}(x,y) = -e^x \sin y$, дающую $f_{xy}(0,0) = 0$; а также $f_{yy}(x,y) = -e^x \cos y$, отсюда $f_{yy}(0,0) = -1$.

Подставляем все найденные значения коэффициентов в многочлен Тейлора второго порядка и получаем окончательное многомерное квадратичное приближение: $f(x,y) \approx 1 + x + \frac{1}{2} x^2 - \frac{1}{2} y^2$.

Частые ошибки

• Забывают коэффициент 2 перед смешанной частной производной второй степени при раскрытии квадратичной формы.
• Вычисляют частные производные не в фиксированной точке разложения, а оставляют их как переменные функции.
• Путают приращения переменных с самими переменными при разложении в точке, отличной от начала координат.

Коротко

Таким образом, формула Тейлора для функции двух переменных позволяет аппроксимировать сложные дифференцируемые функции полиномами с помощью значений частных производных. Данный метод применяется для анализа поведения функций в окрестности заданной точки и исследования экстремумов.