Как проверить сходимость метода Ньютона

Вопрос о том, как проверить сходимость метода Ньютона, решается через анализ производных функции на отрезке. Для этого проверяют непрерывность первой и второй производных, сохранение их знаков, а также выполнение неравенства в начальной точке. Если эти условия соблюдены, проверка сходимости метода Ньютона гарантирует быстрое приближение к корню. Также проверка сходимости метода Ньютона может выполняться по квадратичной скорости уменьшения погрешности на каждом шаге.

$|f(x_0) \cdot f''(x_0)| < (f'(x_0))^2$

Разбор по случаям

Примеры

Проверка на отрезке. Исследуем функцию $f(x) = x^2 - 2$ на отрезке $[1, 2]$. Находим производные: $f'(x) = 2x > 0$ и $f''(x) = 2 > 0$. Производные не меняют знак и не равны нулю. Так как $f(1) = -1$, а $f(2) = 2$, выполняется условие $f(1) \cdot f(2) < 0$.

В качестве начального приближения берем $x_0 = 2$, где $f(2) \cdot f''(2) = 2 \cdot 2 = 4 > 0$.

Следовательно, проверка сходимости метода Ньютона дает положительный результат.

Проверка начального приближения. Проверим точку $x_0 = 1$ для функции $f(x) = x^3 - x - 1$. Производные равны $f'(x) = 3x^2 - 1$ и $f''(x) = 6x$. В начальной точке получаем $f(1) = -1$, $f'(1) = 2$, $f''(1) = 6$.

Вычисляем значение неравенства: $|f(1) \cdot f''(1)| = |-1 \cdot 6| = 6$, а $(f'(1))^2 = 4$.

Так как $6 > 4$, условие не выполнено, и алгоритм из этой точки может не сойтись.

Анализ по теореме Канторовича. Проверим сходимость для уравнения $f(x) = x^3 - x - 1 = 0$ на отрезке $[1, 2]$ при $x_0 = 1.5$. Первая производная $f'(x) = 3x^2 - 1$ на отрезке минимальна в точке $x = 1$, где $m_1 = 2$. Вторая производная $f''(x) = 6x$ максимальна при $x = 2$, давая $M_2 = 12$.

Первая итерация дает значение $x_1 = 1.5 - \frac{0.875}{5.75} \approx 1.3478$, то есть длина первого шага $\delta_0 = 0.1522$.

Вычисляем параметр Канторовича по формуле $h = \frac{M_2 \cdot \delta_0}{m_1} = \frac{12 \cdot 0.1522}{2} = 0.9132$.

Так как полученное значение $h > 0.5$, достаточный критерий Канторовича на данном отрезке не выполняется, поэтому для гарантированной сходимости требуется выбрать более точное начальное приближение $x_0$ ближе к настоящему корню.

Частые ошибки

• Выбор начального приближения в точке, где первая производная равна нулю.
• Игнорирование смены знака второй производной на исследуемом интервале.
• Применение алгоритма без предварительной локализации корня на отрезке.

Коротко

Выяснив, как проверить сходимость метода Ньютона, необходимо вычислять производные функции и контролировать условия теоремы Фурье. Систематическая проверка сходимости метода Ньютона предотвращает циклическое зацикливание и расходимость итераций возле экстремумов.