Таблица квантилей нормального распределения

Таблица квантилей нормального распределения — это справочная таблица, содержащая значения граничных точек $z_{\alpha}$, для которых вероятность $P(Z \le z_{\alpha})$ равна заданному уровню доверия $\alpha$. С её помощью определяют критические значения в статистических тестах, строят доверительные интервалы и находят вероятности попадания случайной величины в интервал. Данный справочный материал критически важен для проверки гипотез, так как позволяет обходиться без сложного вычисления интегралов Лапласа вручную.

$\Phi(z_{\alpha}) = \alpha$

Разбор по случаям

Примеры

Нахождение критического значения. Дано стандартное нормальное распределение с $\mu = 0$ и $\sigma = 1$. Требуется найти значение $z$, при котором вероятность $P(Z \le z) = 0{,}975$. По таблице находим вероятность $0{,}975$ на пересечении строки $1{,}9$ и столбца $0{,}06$. Следовательно, искомый квантиль равен $z = 1{,}96$. Данное значение активно используется при построении 95%-ных доверительных интервалов.

Расчет вероятности попадания в интервал. Случайная величина имеет параметры $\mu = 100$ и $\sigma = 15$. Найдем вероятность того, что $X \le 130$.

Выполним стандартизацию: $z = \frac{130 - 100}{15} = 2$.

В таблице определяем значение функции $\Phi(2) = 0{,}9772$. Таким образом, вероятность события составляет $97{,}72\%$, что показывает удобство работы со стандартизованной формой.

Расчет доли продукции с превышением допуска. Деталь изготавливается на автоматической линии, где ее масса распределена по нормальному закону с математическим ожиданием $\mu = 100$ граммов и стандартным отклонением $\sigma = 5$ граммов. Требуется вычислить вероятность того, что масса случайно выбранной детали превысит критическое значение $108.5$ граммов.

Сначала проведем стандартизацию случайной величины: $z = (108.5 - 100) / 5 = 1.7$.

По справочной таблице квантилей и функции распределения находим значение $\Phi(1.7) = 0.9554$.

Так как требуется найти вероятность превышения порога, вычитаем полученную величину из единицы: $P(X > 108.5) = 1 - \Phi(1.7) = 1 - 0.9554 = 0.0446$.

Таким образом, доля деталей с превышением массы составляет $4.46\%$ от общего объема производства.

Частые ошибки

• Путаница между значениями самого квантиля $z_{\alpha}$ и уровнем вероятности $\alpha$ при поиске данных.
• Использование таблицы для нестандартизованной величины без предварительного вычитания математического ожидания и деления на среднее квадратическое отклонение.
• Игнорирование свойства симметрии нормального распределения при работе с отрицательными значениями аргумента.

Коротко

Правильное применение справочника сокращает время на статистические вычисления и проверку гипотез. Таблица квантилей нормального распределения является базовым инструментом при решении задач теоретической и прикладной статистики.