Направление осей в правой системе координат

Направление осей в правой системе координат определяется по правилу правой руки. Если согнуть пальцы правой руки от положительного направления оси $OX$ к оси $OY$ по кратчайшему пути, то отставленный на девяносто градусов большой палец укажет направление оси $OZ$.

Векторное произведение ортов осей подчиняется условию $\vec{k} = \vec{i} \times \vec{j}$.

Такая ориентация базиса является стандартной в школьной стереометрии и физике.

Разбор по случаям

Примеры

Построение оси OZ по известным OX и OY. Даны оси $OX$, направленная вправо, и $OY$, направленная вверх. Чтобы найти его, примените правило правой руки. Направьте указательный палец вдоль $OX$, средний — вдоль $OY$. Тогда отставленный большой палец будет направлен к вам из плоскости чертежа.

Следовательно, ось $OZ$ направлена к наблюдателю, образуя правую тройку векторов с условием $\vec{k} = \vec{i} \times \vec{j}$.

Проверка готовности пространственного базиса. Проверим тройку векторов, где $OX$ направлена от нас, $OY$ — вправо, а $OZ$ — вверх. Совместим пальцы правой руки с осью $OX$ и повернем их к $OY$. Большой палец указывает вниз, а не вверх. Правило правой тройки требует направления $OZ$ вниз при такой ориентации $OX$ и $OY$. Исходная система является левой, поэтому направление $OZ$ следует изменить на противоположное.

Частые ошибки

• Путаница между правой и левой системой координат из-за использования левой руки при определении направления векторов.
• Ошибочный отсчет угла поворота от оси $OY$ к оси $OX$ вместо правильного направления от $OX$ к $OY$.
• Неверное направление оси $OZ$ в противоположную сторону при рисовании пространственной системы на плоском листе бумаги.

Коротко

Направление осей в правой системе координат задается векторным произведением базисных ортов и правилом правой руки. Соблюдая это правило, вы легко избежите ошибок в стереометрии и векторной алгебре.