Как найти производную функции в 11 классе

Правила дифференцирования суммы, произведения, частного и сложной функции позволяют вычислить производную любого выражения.

МатематикаОбновлено 9 сентября 2026 г.3 мин чтения

Как найти производную функции в 11 классе?

Нейросова

Как найти производную функции в 11 классе: сначала определяют, к какому виду она относится — степенная, сумма, произведение, частное или сложная функция, — а затем применяют соответствующее правило дифференцирования. Степенную функцию дифференцируют по таблице производных, произведение — по правилу произведения, частное — по правилу с разностью в числителе, а сложную функцию — по цепному правилу, перемножая производные внешней и внутренней функций. Полученное выражение упрощают, а если нужно значение в конкретной точке, вместо переменной подставляют число и вычисляют результат.

$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$

Схема вычисления производной многочлена в точке x = 2 с результатом 17 — Каждое слагаемое дифференцируют отдельно

Разбор по случаям

Что известно	Формула	Когда применять
функция степенная, записана как x в степени n	$(x^n)' = n x^{n-1}$	выражение представляет собой одночлен или сумму одночленов
функция — сумма или разность двух функций	$(u \pm v)' = u' \pm v'$	выражение состоит из нескольких слагаемых, соединённых плюсом или минусом
функция — произведение двух функций	$(uv)' = u'v + uv'$	две функции перемножены между собой в одном выражении
функция — частное двух функций	$\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$	одна функция делится на другую, знаменатель не равен нулю
функция сложная, одна функция вложена в другую	$(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$	аргументом внешней функции служит другая функция
в выражении есть синус, косинус, экспонента или логарифм	$(\sin x)' = \cos x,\ (\cos x)' = -\sin x,\ (e^x)' = e^x,\ (\ln x)' = \frac{1}{x}$	функция содержит табличную трансцендентную функцию, а не только степень
нужна производная второго порядка	$f''(x) = (f'(x))'$	от уже найденной первой производной берут производную ещё раз

Примеры

Многочлен. Дана функция $f(x) = 3x^2 + 5x - 7$ . По правилу суммы и степенной формуле находят производную каждого слагаемого отдельно: $f'(x) = 6x + 5$ .

При $x = 2$ значение производной равно $f'(2) = 6 \cdot 2 + 5 = 17$ .

Положительное число показывает, что в этой точке функция возрастает, и её график идёт вверх слева направо. Вторая производная $f''(x) = 6$ постоянна и положительна, значит график выпуклый вниз на всей области определения.

Произведение функций. Дана функция $f(x) = (2x + 1)(x - 3)$ .

По правилу произведения производная равна $f'(x) = 2(x-3) + (2x+1) = 4x - 5$ .

При $x = 2$ получают $f'(2) = 4 \cdot 2 - 5 = 3$ . Проверка через раскрытие скобок даёт тот же многочлен $f(x) = 2x^2 - 5x - 3$ , а его производная по степенному правилу равна $f'(x) = 4x - 5$ , что совпадает с ответом.

Частые ошибки

Забывают правило произведения и вместо него умножают производные двух функций друг на друга напрямую.
Теряют минус в правиле частного и складывают слагаемые в числителе вместо того, чтобы их вычесть.
Не умножают на производную внутренней функции при дифференцировании сложной функции по цепному правилу и останавливаются на полпути.

Коротко

Как найти производную функции в 11 классе — определить тип выражения и применить нужное правило: степенное, суммы, произведения, частного или цепное. После дифференцирования результат упрощают и при необходимости подставляют числовое значение аргумента.

Учебный бот Нейросовы

Бесплатный помощник по учёбе — не только по теме «Математика». Решит задачу по действиям, объяснит непонятное место своими словами, ответит на вопросы в конце параграфа.

Любой учебный вопрос
Понимает фото задания
Без регистрации

Спросить бота

Как найти производную функции в 11 классе

Разбор по случаям

Примеры

Частые ошибки

Коротко

Ещё по теме