Как найти область значений функции в 9 классе

Как найти область значений функции в 9 классе, если это парабола y = ax² + bx + c? Сначала находят координату вершины по формуле x0 = −b/(2a), затем вычисляют y0 — значение функции в этой точке. Если ветви параболы направлены вверх (a>0), область значений — [y0; +∞), если вниз (a<0) — (−∞; y0]. Для других видов функций область значений находят по графику или анализом самого выражения.

$x_0 = -\dfrac{b}{2a},\quad y_0 = y(x_0)$

Разбор по случаям

Примеры

Парабола с ветвями вверх. Дана функция $y=x^2-4x+7$.

Координата вершины по оси x равна $x_0=-\dfrac{-4}{2\cdot1}=2$.

Значение функции в вершине: $y_0=2^2-4\cdot2+7=4-8+7=3$. Так как коэффициент $a=1>0$, ветви параболы направлены вверх, и функция при удалении от вершины только растёт. Значит, наименьшее значение достигается именно в вершине, и область значений равна $y \in [3;\ +\infty)$.

Обратная пропорциональность. Дана функция $y=\dfrac{6}{x}$. При любом $x \neq 0$ значение $y$ не может оказаться равным $0$, потому что дробь с ненулевым числителем в нуль никогда не обращается, а график лишь приближается к горизонтальной оси.

Область значений этой функции — $y \in (-\infty;\ 0)\cup(0;\ +\infty)$, то есть все числа, кроме нуля.

Частые ошибки

• Находят координату вершины по x, но забывают подставить её обратно в функцию, чтобы получить значение y0, и оставляют в ответе только x0.
• Путают направление ветвей параболы и записывают итоговый промежуток в обратную от вершины сторону.
• Для дробно-рациональной функции забывают исключить из ответа значение, к которому график приближается, но не достигает никогда.

Коротко

Как найти область значений функции в 9 классе — для параболы вычислить координату вершины и учесть направление ветвей, для других функций проанализировать график или выражение целиком. Ответ записывают в виде промежутка или объединения промежутков значений y.