Как найти производную функции: примеры

Производную находят по табличным формулам: производная степенной функции (x^n)' = n x^{n-1}, а производная суммы равна сумме производных слагаемых. Для произведения действует правило (uv)' = u'v + uv', а для частного — правило с квадратом знаменателя в знаменателе результата. Для сложной функции применяют цепное правило: сначала берут производную внешней функции, затем умножают на производную внутренней. Подборка «как найти производную функции: примеры» разбирает каждое правило на конкретных числах, чтобы закрепить порядок действий при дифференцировании и не путать формулы между собой.

$(x^n)' = n x^{n-1}$

Разбор по случаям

Примеры

Производная многочлена f(x) = 3x⁴ − 5x² + 7. Берём производную каждого слагаемого отдельно: $(3x^4)' = 12x^3$, $(-5x^2)' = -10x$, а производная числа 7 равна нулю. Итоговая производная равна $f'(x) = 12x^3 - 10x$, и порядок слагаемых при этом сохраняется. Такой способ работает для любого многочлена независимо от количества слагаемых в нём.

Производная произведения f(x) = x² sin x. По правилу произведения $f'(x) = (x^2)'\sin x + x^2(\sin x)' = 2x\sin x + x^2\cos x$.

Значит, производная функции равна $f'(x) = 2x\sin x + x^2\cos x$, и оба слагаемых обязательно остаются в ответе.

Тригонометрические функции дифференцируют по тем же табличным правилам, что и степенные.

Частые ошибки

• Забывают, что производная любой числовой константы равна нулю, и по ошибке дифференцируют её как переменную.
• В правиле произведения не прибавляют второе слагаемое целиком, теряя значительную часть итоговой производной.
• Путают производную суммы с производной произведения функций и применяют для решения не то правило.

Коротко

Материалы «как найти производную функции: примеры» показывают, что производная любой элементарной функции находится по одному из готовых табличных правил дифференцирования. Освоив таблицу производных, ученик быстро и без ошибок находит производную многочлена, произведения, частного или сложной функции.