Как найти формулу, которая задаёт линейную функцию

Как найти формулу, которая задаёт линейную функцию — определить коэффициенты k и b в уравнении $y=kx+b$.

Если известны координаты двух точек графика, угловой коэффициент считают как отношение разности ординат к разности абсцисс: $k=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$, а свободный член находят подстановкой одной точки: $b=y_1-kx_1$.

Если же угловой коэффициент уже известен, достаточно одной точки, чтобы найти оставшийся коэффициент b. Оба найденных коэффициента подставляют в общий вид, получая итоговую запись функции.

Разбор по случаям

Примеры

Две точки. Даны точки $A(1;2)$ и $B(5;4)$, через которые проходит график функции.

Угловой коэффициент: $k=\dfrac{4-2}{5-1}=\dfrac{2}{4}=0{,}5$.

Свободный член находим подстановкой точки A: $b=2-0{,}5\cdot1=1{,}5$. Получаем формулу $y=0{,}5x+1{,}5$.

Проверка второй точкой: $0{,}5\cdot5+1{,}5=2{,}5+1{,}5=4$, что совпадает с ординатой точки B.

Такой способ работает для любых двух точек графика, если известны их координаты, включая случаи с отрицательными и дробными значениями.

Коэффициент и точка. Известен угловой коэффициент $k=-2$ и точка $(3;4)$ на графике функции. Подставляем координаты в общий вид: $4=-2\cdot3+b$, откуда $b=4+6=10$. Формула функции — $y=-2x+10$. Проверка: при $x=3$ получаем $y=-2\cdot3+10=4$, что совпадает с заданной точкой. Такой способ короче, чем метод двух точек, потому что коэффициент k уже дан условием задачи и не требует лишних вычислений. Итоговый график проходит через точку (3;4) с отрицательным наклоном к оси абсцисс.

Частые ошибки

• Путают угловой коэффициент k со свободным членом b и подставляют числа не в те места формулы.
• Округляют угловой коэффициент раньше времени и получают неверное значение свободного члена b.
• Проверяют формулу только одной точкой из двух заданных и пропускают ошибку в вычислениях.

Коротко

Как найти формулу, которая задаёт линейную функцию — вычислить угловой коэффициент k по точкам или условию задачи, а затем найти свободный член b подстановкой координат в уравнение. Оба значения подставляют в общий вид, получая итоговую запись функции.