Как найти функцию параболы

Чтобы понять, как найти функцию параболы, чаще всего используют вершинную форму уравнения, куда подставляют координаты вершины и ещё одной точки графика. Если вершина параболы находится в точке два минус один, а график проходит через точку ноль три, после подстановки коэффициент при старшем члене получается равным единице. Если вместо вершины известны корни параболы, удобнее записать функцию через разложение на множители и подставить третью точку графика.

$y = a(x-h)^2 + k$

Разбор по случаям

Примеры

Вершина и точка графика. Вершина параболы находится в точке $(2,-1)$, а её график по условию задачи проходит ещё через точку $(0,3)$, при этом коэффициент при старшем члене заранее неизвестен. Подставляем координаты вершины в вершинную форму уравнения: $y=a(x-2)^2-1$. При $x=0$ и $y=3$ получаем: $3=a(0-2)^2-1=4a-1$, откуда коэффициент $a=1$. Итоговая функция параболы после раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых: $y=(x-2)^2-1=x^2-4x+3$.

Корни параболы и точка графика. Парабола пересекает ось икс в точках $x_1=1$ и $x_2=5$, а по условию задачи её график проходит ещё через точку $(0,5)$, лежащую на оси игрек. Записываем функцию через известные корни в виде произведения: $y=a(x-1)(x-5)$. При $x=0$ получаем: $5=a(0-1)(0-5)=5a$, откуда коэффициент $a=1$. Итоговая функция параболы после раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых: $y=(x-1)(x-5)=x^2-6x+5$, что и требовалось найти.

Частые ошибки

• Подставляют координаты точки не в ту форму уравнения, путая вершинную запись с обычной.
• Забывают, что при раскрытии скобок в вершинной форме знаки некоторых коэффициентов меняются на противоположные.
• Считают коэффициент при старшем члене равным единице по умолчанию, не проверяя его через известную точку графика.

Коротко

Чтобы понять, как найти функцию параболы, подбирают удобную форму записи — вершинную, через корни или общую — и подставляют в неё известные координаты точек графика. Найденный коэффициент при старшем члене позволяет записать итоговое уравнение параболы в стандартном виде.