Как найти нули функции параболы

Как найти нули функции параболы — решить квадратное уравнение $ax^2+bx+c=0$ через дискриминант $D=b^2-4ac$ и формулу корней $x=\dfrac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}$.

При положительном дискриминанте получаются два разных нуля, при нулевом дискриминанте — только один, а при отрицательном действительных нулей нет вовсе, и парабола не пересекает ось абсцисс. Если коэффициенты небольшие и удобные, корни быстрее находят подбором по теореме Виета, вовсе не вычисляя дискриминант. Найденные значения переменной x всегда стоит подставить обратно в исходную функцию для проверки правильности вычислений.

$x=\dfrac{-b\pm\sqrt{D}}{2a},\quad D=b^2-4ac$

Разбор по случаям

Примеры

Два корня. Дана функция $f(x)=x^2-5x+6$.

Находим дискриминант: $D=b^2-4ac=(-5)^2-4\cdot1\cdot6=25-24=1$.

Так как $D>0$, уравнение имеет два корня: $x=\dfrac{5\pm\sqrt{1}}{2}$, откуда $x_1=\dfrac{5+1}{2}=3$ и $x_2=\dfrac{5-1}{2}=2$. Значит нули функции — точки $x=2$ и $x=3$, в которых парабола пересекает ось абсцисс. Проверка подстановкой обоих корней подтверждает правильность результата: $f(2)=4-10+6=0$ и $f(3)=9-15+6=0$.

Один корень. Дана функция $f(x)=2x^2-8x+8$.

Дискриминант $D=(-8)^2-4\cdot2\cdot8=64-64=0$, значит уравнение имеет только один корень.

Находим его по формуле $x=\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{8}{4}=2$.

Проверка подстановкой: $f(2)=2\cdot4-16+8=0$ подтверждает, что $x=2$ — верный нуль функции. Парабола лишь касается оси абсцисс своей вершиной, не пересекая её в двух разных точках графика.

Частые ошибки

• Забывают поставить знак минус перед b в формуле дискриминанта и получают неверные значения корней.
• Считают, что при отрицательном дискриминанте есть ошибка в вычислениях, хотя это означает отсутствие действительных нулей вовсе.
• Путают нули функции с координатами вершины параболы и подставляют в окончательный ответ не то значение x.

Коротко

Как найти нули функции параболы — вычислить дискриминант квадратного уравнения и применить формулу корней, учитывая его знак. Число корней всегда зависит от знака дискриминанта: два различных значения, одно повторяющееся или ни одного действительного значения переменной.