Как найти наибольшее значение функции

Чтобы понять, как найти наибольшее значение функции на отрезке $[a; b]$, сначала найдите её производную $f'(x)$. Затем приравняйте её к нулю и решите уравнение, чтобы определить критические точки. Отберите те критические точки, которые принадлежат заданному отрезку $[a; b]$. Вычислите значения исходной функции на концах отрезка $f(a)$, $f(b)$ и в найденных точках. Сравните полученные числовые результаты: самое большое из них и будет искомым ответом задачи.

$f'(x) = 0$

Разбор по случаям

Примеры

Нахождение на отрезке. Найдем наибольшее значение функции $f(x) = x^3 - 3x$ на отрезке $[0; 2]$. Вычисляем производную: $f'(x) = 3x^2 - 3$. Приравниваем к нулю: $3x^2 - 3 = 0$, откуда $x = 1$ и $x = -1$. Отрезку $[0; 2]$ принадлежит только точка $x = 1$. Находим значения функции на границах и в критической точке: $f(0) = 0$, $f(1) = 1 - 3 = -2$, $f(2) = 8 - 6 = 2$. Наибольшим среди чисел $0$, $-2$ и $2$ является число $2$. Ответ: $2$.

Квадратичная функция. Найдем наибольшее значение функции $y = -x^2 + 4x + 5$ на всей числовой прямой. Так как коэффициент при $x^2$ равен $-1 < 0$, графиком является парабола с ветвями вниз. Наибольшее значение достигается в вершине параболы.

Находим абсциссу вершины по формуле: $x_0 = -\frac{4}{2 \cdot (-1)} = 2$.

Подставляем значение $x = 2$ в исходную формулу: $y(2) = -(2)^2 + 4 \cdot 2 + 5 = -4 + 8 + 5 = 9$.

Ответ: $9$.

Убывающая функция. Рассмотрим задачу нахождения наибольшего значения функции $f(x) = -x^3 - 3x + 5$ на отрезке $[-2; 1]$. На первом шаге вычислим производную заданной функции: $f'(x) = -3x^2 - 3$. Преобразуем полученное выражение, вынеся множитель: $f'(x) = -3(x^2 + 1)$. Так как квадрат любого действительного числа не принимает отрицательных значений ($x^2 \ge 0$), скобка $x^2 + 1$ всегда больше нуля. Следовательно, производная $f'(x)$ строго меньше нуля на всем отрезке $[-2; 1]$. Это означает, что исходная функция непрерывна и монотонно убывает на данном промежутке. Для монотонно убывающей функции наибольшее значение всегда достигается в левом конце отрезка, то есть в точке $x = -2$.

Подставим $x = -2$ в формулу функции: $f(-2) = -(-2)^3 - 3 \cdot (-2) + 5 = 8 + 6 + 5 = 19$.

Искомый ответ: 19.

Частые ошибки

• Забывают проверить, входят ли найденные критические точки в заданный отрезок.
• Подставляют критические точки в производную вместо исходной функции для расчета значения.
• Игнорируют исследование значения функции на концах отрезка при поиске экстремума.

Коротко

Разбор показывает, как найти наибольшее значение функции с помощью производной или свойств ее графика. Для получения корректного результата всегда вычисляйте значение исходной функции в критических точках и на границах отрезка.