Как найти наименьшее значение функции на отрезке

Чтобы понять, как найти наименьшее значение функции на отрезке, используйте стандартный алгоритм дифференциального исчисления. Сначала найдите область определения и вычислите производную $f'(x)$. Затем найдите критические точки, приравняв производную к нулю, и отберите только те из них, которые принадлежат данному отрезку $[a; b]$. Вычислите значения функции $f(x)$ в отобранных критических точках и на концах отрезка. Наименьшее из полученных чисел и будет искомым ответом.

$\min_{x \in [a; b]} f(x) = \min \{ f(a), f(b), f(x_i) \}$

Разбор по случаям

Примеры

Стандартная задача. Найдем наименьшее значение функции $f(x) = x^3 - 3x$ на отрезке $[0; 2]$. Вычисляем производную: $f'(x) = 3x^2 - 3$. Приравниваем к нулю: $3x^2 - 3 = 0$, откуда $x = 1$ или $x = -1$. Нашему отрезку принадлежит только точка $x = 1$. Считаем значения функции: $f(0) = 0$, $f(1) = 1 - 3 = -2$, $f(2) = 8 - 6 = 2$. Сравниваем результаты. Ответ: $-2$.

Монотонная функция. Найдем наименьшее значение функции $f(x) = 2x + 5$ на отрезке $[1; 4]$. Производная $f'(x) = 2 > 0$ на всем отрезке, значит, функция строго возрастает. На отрезке монотонного возрастания наименьшее значение достигается на левом конце. Подставляем левую границу: $f(1) = 2 \cdot 1 + 5 = 7$. Проверять правый конец не требуется. Ответ: $7$.

Единственная критическая точка. Найдем наименьшее значение непрерывной функции $f(x) = x^3 - 3x + 5$ на отрезке $[0; 2]$. Сначала найдем производную заданной функции: $f'(x) = 3x^2 - 3$. Для поиска критических точек приравняем производную к нулю: $3(x - 1)(x + 1) = 0$. Получаем корни $x = 1$ и $x = -1$. Из двух найденных значений заданному отрезку $[0; 2]$ принадлежит лишь критическая точка $x = 1$.

Теперь вычислим значения функции на границах отрезка и в этой точке: $f(0) = 5$, $f(1) = 1^3 - 3 \cdot 1 + 5 = 3$, $f(2) = 2^3 - 3 \cdot 2 + 5 = 7$.

Сравнивая числа $5$, $3$ и $7$, делаем вывод, что наименьшим из них является число $3$. Ответ: наименьшее значение функции равно $3$.

Частые ошибки

• Забывают проверить значения функции на концах отрезка.
• Учитывают критические точки, которые не принадлежат заданному отрезку.
• Подставляют найденные критические точки в производную вместо самой функции.

Коротко

Подробное правило объясняет, как найти наименьшее значение функции на отрезке через поиск критических точек и сравнение значений на границах. Чтобы найти наименьшее значение функции на отрезке без ошибок, всегда подставляйте найденные $x$ в исходную формулу функции.