Как найти наименьшее и наибольшее значение функции

Чтобы понять, как найти наименьшее и наибольшее значение функции на отрезке $[a; b]$, найдите её производную $f'(x)$ и приравняйте её к нулю. Из полученных критических точек выберите те, которые принадлежат данному отрезку. Затем вычислите значения $f(x)$ на концах отрезка в точках $a$ и $b$, а также во всех найденных критических точках. Сравните полученные числа: самое большое из них будет наибольшим значением, а самое маленькое — наименьшим значением функции.

$f'(x) = 0$

Разбор по случаям

Примеры

Функция на отрезке. Найдем наибольшее значение $f(x) = x^3 - 3x$ на $[-2; 2]$. Производная $f'(x) = 3x^2 - 3$. Приравняем к нулю: $3x^2 - 3 = 0$, откуда $x = 1$ и $x = -1$. Обе точки принадлежат отрезку. Вычислим значения: $f(-2) = -2$, $f(-1) = 2$, $f(1) = -2$, $f(2) = 2$. Наибольшее значение функции равно $2$ в точках $x = -1$ и $x = 2$.

Квадратичная функция. Найдем наименьшее значение $f(x) = x^2 - 4x + 5$ на $[0; 3]$. Производная $f'(x) = 2x - 4$. Решая уравнение $2x - 4 = 0$, получаем критическую точку $x = 2$, входящую в отрезок. Находим значения функции: $f(0) = 5$, $f(2) = 1$, $f(3) = 2$. Сравнивая их, получаем, что наименьшее значение функции равно $1$ в точке $x = 2$.

Монотонная функция на отрезке. Найдем наименьшее и наибольшее значения непрерывной функции $f(x) = x^3 + 3x - 5$ на закрытом отрезке $[1; 3]$. На первом шаге вычислим производную функции: $f'(x) = 3x^2 + 3$. Заметим, что квадрат любого числа неотрицателен, поэтому $3x^2 + 3 > 0$ при любых действительных значениях $x$. Так как производная $f'(x) > 0$ положительна на всем заданном отрезке $[1; 3]$, критических точек внутри отрезка нет, а сама функция монотонно возрастает. Следовательно, наименьшее значение функция принимает в левой граничной точке, а наибольшее — в правой граничной точке.

Вычислим эти значения: $f(1) = 1^3 + 3 \cdot 1 - 5 = -1$ — наименьшее значение; $f(3) = 3^3 + 3 \cdot 3 - 5 = 31$ — наибольшее значение.

Частые ошибки

• Вычисление значений функции только в критических точках без проверки границ отрезка.
• Учет критических точек, которые не входят в заданный промежуток.
• Подстановка найденных критических x в выражение производной вместо исходной функции.

Коротко

Главное правило того, как найти наименьшее и наибольшее значение функции, состоит в обязательном сравнении значений во внутренних стационарных точках и на границах отрезка. Это гарантирует верный поиск экстремумов непрерывной функции на заданном замкнутом промежутке.