Как найти точку минимума функции по уравнению

Отвечая на вопрос, как найти точку минимума функции по уравнению, сначала находят производную f'(x), решают уравнение f'(x) = 0 и получают критические точки функции. Затем на числовой прямой проверяют знак производной слева и справа от каждой точки: если знак меняется с минуса на плюс, эта точка — точка минимума. Значение функции в ней и есть минимум на рассматриваемом промежутке или на всей области определения функции.

$f'(x_0) = 0$

Разбор по случаям

Примеры

квадратичная функция. Дано $y = x^2 - 6x + 10$. Производная $y' = 2x - 6$, из уравнения $2x - 6 = 0$ получаем единственный корень $x = 3$. Слева от точки $y' < 0$, справа $y' > 0$, значит знак меняется с минуса на плюс. Подставим $x = 3$ в исходную функцию: $y = 9 - 18 + 10 = 1$. Точка минимума $(3; 1)$. Проверка второй производной: $y'' = 2 > 0$, что тоже подтверждает минимум в этой точке.

кубическая функция. Дано $y = x^3 - 3x^2$. Производная $y' = 3x^2 - 6x = 3x(x-2)$, корни уравнения $x = 0$ и $x = 2$. У точки $x = 0$ знак меняется с плюса на минус — это максимум функции. У точки $x = 2$ знак меняется с минуса на плюс, подставляем: $y(2) = 8 - 12 = -4$, это точка минимума $(2; -4)$. Проверка второй производной: $y'' = 6x - 6$, при $x = 2$ получаем $y'' = 6 > 0$, минимум подтверждён.

Частые ошибки

• Путают точку минимума аргумента x с минимальным значением самой функции y в этой точке.
• Забывают учитывать точки, где производная не существует, хотя сама функция там определена и непрерывна.
• Называют минимумом любой корень уравнения f'(x) = 0, не проверяя реальную смену знака производной.

Коротко

Итог: чтобы понять, как найти точку минимума функции по уравнению, решают f'(x) = 0, получают критические точки и проверяют смену знака производной с минуса на плюс. Такой порядок действий одинаково подходит для многочленов, дробно-рациональных и тригонометрических функций, а вторая производная позволяет быстро перепроверить результат.