Как найти область определения функции на примерах

Область определения функции — это все значения x, при которых выражение можно вычислить без ошибок. Для дроби знаменатель не должен равняться нулю, для чётного корня подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а для логарифма аргумент — строго положительным. Если ограничений несколько, решают систему неравенств и берут пересечение решений. Как найти область определения функции на примерах проще всего — разобрать типовые случаи по видам выражений.

Разбор по случаям

Примеры

Дробь. Дана функция $f(x)=\frac{1}{x-3}$, требуется найти её область определения. Знаменатель дроби не может равняться нулю, поэтому составляем условие: подставим $x-3\neq0$, откуда $x\neq3$. Такое ограничение появляется, потому что деление на ноль не определено в математике.

Область определения — все числа, кроме тройки: $D(f)=(-\infty;3)\cup(3;+\infty)$.

Число 3 просто выкалывают из числовой прямой, а все остальные действительные числа подходят для подстановки. Проверка: при $x=3$ знаменатель $3-3=0$, значит функция там действительно не определена.

Чётный корень. Дана функция $f(x)=\sqrt{x+5}$, требуется найти её область определения. Подкоренное выражение у корня чётной степени не может быть отрицательным числом, поэтому составляем неравенство: подставим $x+5\ge0$, откуда $x\ge-5$. Область определения — луч $D(f)=[-5;+\infty)$, включая саму точку $-5$, где подкоренное выражение равно нулю. Для корня нечётной степени такого ограничения не было бы вовсе. Проверка: при $x=-5$ подкоренное выражение равно нулю, а корень из нуля существует.

Частые ошибки

• Забывают одновременно проверить все ограничения, если в функции есть и дробь, и корень.
• Считают, что можно делить на ноль в отдельных точках, и не исключают эти значения из ответа.
• Путают знак неравенства для чётного корня со строгим неравенством, теряя граничную точку решения.

Коротко

Как найти область определения функции на примерах, показывают три базовых правила: знаменатель не равен нулю, подкоренное выражение неотрицательно, а аргумент логарифма положителен. Если в выражении встречается сразу несколько таких условий, решением служит пересечение всех ограничений.