Как найти минимум и максимум функции

Отвечая на вопрос, как найти минимум и максимум функции, находят производную f'(x), решают уравнение f'(x) = 0 и получают критические точки. Далее проверяют знак производной слева и справа от каждой точки: смена с плюса на минус означает максимум, а с минуса на плюс — минимум. Вместо анализа знака можно сразу подставить точку во вторую производную и сравнить полученный результат с нулём.

$f'(x_0) = 0$

Разбор по случаям

Примеры

квадратичная функция. Дано $y = -x^2 + 4x - 1$. Производная $y' = -2x + 4$, из уравнения $-2x + 4 = 0$ получаем единственную критическую точку $x = 2$. Вторая производная $y'' = -2 < 0$, значит это максимум, а не минимум. Подставим $x = 2$ в исходную функцию: $y = -4 + 8 - 1 = 3$. Точка максимума $(2; 3)$, других экстремумов у параболы нет. Проверка знака: при $x = 1$ производная $y' = 2 > 0$, а при $x = 3$ производная $y' = -2 < 0$, смена знака подтверждает максимум.

кубическая функция. Дано $y = x^3 - 3x$.

Производная $y' = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1)$, корни уравнения $x = -1$ и $x = 1$.

В точке $x = -1$ знак меняется с плюса на минус: $y(-1) = -1 + 3 = 2$, это максимум. В точке $x = 1$ знак меняется с минуса на плюс: $y(1) = 1 - 3 = -2$, это минимум функции на всей числовой прямой. Проверка: при $x = 0$ производная $y' = -3 < 0$, а при $x = 2$ производная $y' = 9 > 0$, что подтверждает минимум в точке $x = 1$.

Частые ошибки

• Считают любую критическую точку экстремумом, не проверяя смену знака производной вовсе.
• Путают максимум функции на отрезке с наибольшим значением функции во всей области определения.
• Забывают исключить из ответа точки, не входящие в область определения дробной функции, при подсчёте корней.

Коротко

Чтобы понять, как найти минимум и максимум функции, решают f'(x) = 0, находят все критические точки и определяют их тип по смене знака производной или по значению второй производной. Такой способ работает для многочленов, дробно-рациональных и тригонометрических функций одинаково хорошо.