Как найти среднее геометрическое

Как найти среднее геометрическое: числа перемножают и извлекают корень той степени, сколько чисел было перемножено. Для двух чисел это квадратный корень из их произведения, для трёх чисел — кубический корень из произведения, и так далее для любого количества исходных величин. Такой способ усреднения определяют только для неотрицательных чисел, поскольку действительный корень из отрицательного произведения может не существовать в привычном смысле.

$g = \sqrt{a b}$

Разбор по случаям

Примеры

два числа. Даны числа $a = 4$ и $b = 9$. Перемножаем их: $a \cdot b = 36$. Извлекаем квадратный корень: $g = \sqrt{36} = 6$. Получившееся число 6 лежит ровно между исходными числами 4 и 9.

три числа. Даны числа $2$, $4$ и $8$. Их произведение равно $2 \cdot 4 \cdot 8 = 64$. Извлекаем кубический корень, так как чисел три: $g = \sqrt[3]{64} = 4$. Среднее геометрическое трёх чисел равно четырём.

Частые ошибки

• Путают этот способ усреднения со средним арифметическим и по ошибке складывают числа вместо их перемножения.
• Пытаются вычислить такой корень для отрицательных чисел, хотя действительный результат для такого произведения обычно вообще не определяют.
• Для нескольких чисел забывают взять корень нужной степени и по старой привычке извлекают только квадратный корень из всего произведения.

Коротко

Как найти среднее геометрическое: числа перемножают и извлекают корень степени, равной их количеству, получая единое число между наибольшим и наименьшим значением. Такое среднее часто встречается и в геометрии, например как высота прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, и как средний член геометрической прогрессии.