Как найти средний член пропорции

Чтобы понять, как найти средний член пропорции, используют основное свойство: произведение крайних членов равно произведению средних. В пропорции $a:b=c:d$ крайние члены — $a$ и $d$, средние — $b$ и $c$. Если известен один средний член, второй находят делением произведения крайних на известный: $b=\frac{a\cdot d}{c}$ или $c=\frac{a\cdot d}{b}$. В непрерывной пропорции $a:b=b:d$ оба средних члена равны между собой и находятся как среднее геометрическое крайних членов: $b=\sqrt{a\cdot d}$.

$b\cdot c = a\cdot d$

Разбор по случаям

Примеры

Простая пропорция. Дана пропорция $5:x=4:8$, где $x$ — неизвестный средний член. Крайние члены пропорции — $5$ и $8$, известный средний член — $4$. По основному свойству пропорции произведение крайних равно произведению средних: $5\cdot8=4\cdot x$, то есть $40=4x$. Отсюда $x=\frac{40}{4}=10$. Проверка: $5:10=4:8=0{,}5$ — пропорция составлена верно.

Непрерывная пропорция. Дана непрерывная пропорция $4:x=x:9$, где оба средних члена равны $x$.

Средний член такой пропорции равен среднему геометрическому крайних: $x=\sqrt{4\cdot9}=\sqrt{36}=6$.

Проверка: $4:6=6:9$, оба отношения равны $\frac{2}{3}$, значит непрерывная пропорция составлена верно.

Частые ошибки

• Умножают крайний член на средний вместо того, чтобы перемножить крайние члены между собой.
• Делят произведение крайних членов не на тот средний член, который известен по условию задачи.
• В непрерывной пропорции забывают извлечь квадратный корень и оставляют в ответе произведение крайних членов.

Коротко

Итак, как найти средний член пропорции: перемножают крайние члены и делят результат на известный средний, а в непрерывной пропорции дополнительно извлекают из этого произведения квадратный корень. Ответ всегда проверяют подстановкой обратно в пропорцию.