Как найти точку максимума функции ЕГЭ

Как найти точку максимума функции ЕГЭ — найти производную $f'(x)$, приравнять её к нулю и определить, где знак производной меняется с плюса на минус: это и есть искомая точка. Если функция — квадратичная парабола с отрицательным коэффициентом при $x^2$, точку максимума находят сразу по формуле $x_{max} = -b/(2a)$. Если в задаче дан график производной, точку максимума ищут там, где график пересекает ось абсцисс сверху вниз, без вычисления самой функции.

$f'(x) = 0$

Разбор по случаям

Примеры

квадратичная функция. Функция задана формулой $f(x) = -x^2 + 4x - 1$, коэффициент при $x^2$ отрицательный, значит, парабола направлена ветвями вниз.

Точка максимума находится по формуле $x_{max} = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2\cdot(-1)} = 2$.

Значение функции в этой точке равно $f(2) = -4 + 8 - 1 = 3$. Такой способ быстрее производной, если функция — обычная квадратичная парабола. Для параболы с ветвями вниз вершина всегда совпадает с точкой максимума функции на всей числовой прямой.

через производную. Дана функция $f(x) = x^3 - 3x$. Находят производную: $f'(x) = 3x^2 - 3$, приравнивают к нулю: $3x^2 - 3 = 0$, откуда $x = -1$ и $x = 1$. При переходе через $x = -1$ производная меняет знак с плюса на минус, значит, это точка максимума.

Значение функции в этой точке равно $f(-1) = (-1)^3 - 3\cdot(-1) = -1 + 3 = 2$.

Вторая точка x = 1 оказывается точкой минимума, потому что знак производной меняется с минуса на плюс.

Частые ошибки

• Путают точку максимума с максимальным значением функции и записывают в ответ число y вместо x.
• Не проверяют смену знака производной и считают максимумом любой корень уравнения f'(x) = 0.
• Для параболы с ветвями вверх ошибочно ищут точку максимума вместо точки минимума.

Коротко

Чтобы понять, как найти точку максимума функции ЕГЭ, нужно определить производную и найти место, где она меняет знак с плюса на минус, либо использовать формулу вершины параболы. Точка максимума функции — это всегда значение аргумента x, а не значение самой функции в этой точке.