Как найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Как найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, определяет формула $S = \dfrac{b_1}{1-q}$, где $b_1$ — первый член прогрессии, а $q$ — её знаменатель, по модулю меньший единицы. Условие $|q| < 1$ обязательно: при $|q| \geq 1$ члены не убывают, и сумма бесконечного числа слагаемых уходит в бесконечность, а не сходится к конечному числу. Именно это условие всегда проверяют первым, ещё до подстановки чисел в саму формулу. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии всегда конечна, если это условие выполняется.

Разбор по случаям

Примеры

Даны b1 и q. Прогрессия начинается с первого члена $b_1 = 8$, а знаменатель равен $q = 0,5$, то есть каждый следующий член вдвое меньше предыдущего. Условие $|q| < 1$ выполняется, значит сумма существует и её можно найти.

По формуле $S = \dfrac{b_1}{1-q} = \dfrac{8}{1-0,5} = \dfrac{8}{0,5} = 16$.

Сумма всех бесконечных членов прогрессии $8, 4, 2, 1, \dots$ равна 16. Такая прогрессия часто встречается в школьных задачах на убывающие геометрические ряды.

Периодическая дробь 0,(3). Бесконечная десятичная дробь $0,(3) = 0,333\ldots$ на самом деле является суммой геометрической прогрессии с первым членом $b_1 = 0,3$ и знаменателем $q = 0,1$, ведь каждая следующая цифра добавляет в десять раз меньшую долю.

По формуле $S = \dfrac{b_1}{1-q} = \dfrac{0,3}{1-0,1} = \dfrac{0,3}{0,9} = \dfrac{1}{3}$.

Значит, $0,(3)$ в точности равно обыкновенной дроби $\dfrac{1}{3}$, а не приближённо. Этот способ работает для любой чисто периодической десятичной дроби.

Частые ошибки

• Забывают проверить условие |q| < 1 и пытаются найти сумму у прогрессии, которая не убывает.
• Путают знаменатель прогрессии q с самим членом ряда и подставляют в формулу не то число.
• Считают, что сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна сумме нескольких первых членов, хотя членов бесконечно много.

Коротко

Как найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии — отвечает единственная формула $S = \dfrac{b_1}{1-q}$ при условии $|q| < 1$. Без этого ограничения сумма бесконечного числа членов не сходится к конечному числу. Эта формула — простой пример предела суммы ряда, важный для дальнейшего курса математики.