Как найти точку максимума функции по уравнению

Как найти точку максимума функции по уравнению: сначала находят производную и приравнивают её к нулю, получая критические точки, а затем проверяют знак второй производной в каждой из них отдельно. Если вторая производная отрицательна, критическая точка является максимумом, а если положительна — минимумом. У параболы с ветвями вниз вершина $x_0=-\frac{b}{2a}$ сразу даёт точку максимума без вычисления производной вовсе.

$f'(x_0) = 0,\ f''(x_0) < 0$

Разбор по случаям

Примеры

Квадратичная функция. Для функции $f(x) = -x^2+4x+1$ производная равна $f'(x) = -2x+4$. Приравняв её к нулю, получают уравнение $-2x+4=0$, откуда критическая точка $x_0=2$. Вторая производная $f''(x)=-2$ постоянна и отрицательна при любом значении $x$, а значит найденная точка обязательно является максимумом, а не минимумом. Значение функции в этой точке равно $f(2)=-4+8+1=5$, это и есть наибольшее значение функции вблизи вершины параболы.

Кубическая функция. Для функции $f(x) = -x^3+3x$ производная $f'(x)=-3x^2+3$ обращается в нуль при $x=1$ и при $x=-1$ — это две критические точки многочлена третьей степени. Вторая производная $f''(x)=-6x$ даёт в первой точке $f''(1)=-6<0$, значит $x_0=1$ — точка максимума, а во второй $f''(-1)=6>0$, значит $x=-1$ — точка минимума этой же функции. Значение максимума функции равно $f(1)=-1+3=2$, это наибольшее значение вблизи данной точки.

Частые ошибки

• Находят корень производной и сразу называют его точкой максимума, не проверяя знак второй производной или смену знака первой.
• Путают точку максимума с максимальным значением функции в этой точке и записывают в ответ число f(x_0) вместо координаты x_0.
• При нескольких критических точках проверяют только одну из них и не сравнивают остальные найденные точки.

Коротко

Как найти точку максимума функции по уравнению, определяет производная: её нуль даёт кандидата, а отрицательный знак второй производной подтверждает максимум. Способ работает для многочленов любой степени, если производная берётся без затруднений.