Как найти средний процент из нескольких процентов

Средний процент из нескольких процентов нельзя находить простым сложением или делением значений пополам, если группы разного размера. Сначала переводят каждый процент в абсолютное число: умножают процент на объём своей группы. Полученные числа складывают и делят на сумму всех объёмов, а результат снова переводят в проценты. Так средний процент из нескольких процентов получается взвешенным, а не арифметическим. Как найти средний процент из нескольких процентов проще всего — через веса групп.

$p_{avg} = \frac{n_1 p_1 + n_2 p_2}{n_1 + n_2}$

Разбор по случаям

Примеры

Два класса разного размера. В первом классе 20 учеников, из них зачёт сдали 75 процентов, во втором классе 30 учеников и сдали 90 процентов. Чтобы найти общий процент, переводим доли в числа сдавших: подставим $20 \times 0{,}75 = 15$ человек в первой группе и $30 \times 0{,}9 = 27$ человек во второй. Всего сдали $15+27=42$ человека из $50$.

Средний процент по обеим группам равен $p = \frac{42}{50}\times 100\% = 84\%$, а простое среднее арифметическое дало бы неверные $82{,}5\%$.

Последовательные проценты. Цену товара на распродаже сначала подняли на 20%, а через месяц снизили уже новую, увеличенную цену на 10%. Складывать и вычитать проценты в уме здесь нельзя, потому что вторая скидка считается не от исходной суммы, а от новой. Переходим к коэффициентам: подставим $k_1 = 1+0{,}2=1{,}2$ и $k_2=1-0{,}1=0{,}9$.

Итоговый коэффициент равен $k = 1{,}2 \times 0{,}9 = 1{,}08$, значит цена в итоге выросла на $8\%$, а не на $10\%$, как получилось бы при простом вычитании процентов.

Частые ошибки

• Многие просто складывают или вычитают проценты, не учитывая, что вторая доля считается уже от новой базы.
• Часто находят средний процент как простое среднее арифметическое, забывая о разных размерах групп.
• Путают процентные пункты с процентным изменением, хотя это разные величины.

Коротко

Как найти средний процент из нескольких процентов, зависит от того, известны ли размеры групп: без них годится обычное среднее, а с ними — только взвешенное по объёмам. Для последовательных процентных изменений действует другое правило — коэффициенты умножают, а не складывают.