Как найти полный дифференциал функции нескольких переменных

Полный дифференциал функции равен сумме произведений частных производных на приращения соответствующих переменных x и y.

МатематикаОбновлено 9 сентября 2026 г.3 мин чтения

Как найти полный дифференциал функции нескольких переменных?

Нейросова

Как найти полный дифференциал функции нескольких переменных z = f(x, y)? Находят частную производную по x и умножают её на dx, находят частную производную по y и умножают её на dy, а затем складывают оба произведения. Для функции трёх переменных добавляют ещё слагаемое с частной производной по z и приращением dz. Полный дифференциал приближённо показывает, на сколько изменится значение функции при малых изменениях всех переменных сразу. Его называют полным именно потому, что он учитывает вклад каждой переменной, а не одной отдельно взятой.

$df = \dfrac{\partial f}{\partial x}\,dx + \dfrac{\partial f}{\partial y}\,dy$

Схема вычисления полного дифференциала функции f(x,y)=x²+y³ в точке (2,1) с результатом df=1 — Каждую частную производную умножают на своё приращение

Разбор по случаям

Что известно	Формула	Когда применять
функция двух переменных f(x,y)	$df = \dfrac{\partial f}{\partial x}dx + \dfrac{\partial f}{\partial y}dy$	нужен дифференциал функции, заданной как $z=f(x,y)$
функция трёх переменных f(x,y,z)	$df = \dfrac{\partial f}{\partial x}dx + \dfrac{\partial f}{\partial y}dy + \dfrac{\partial f}{\partial z}dz$	функция зависит от трёх независимых переменных одновременно
нужно оценить приближённое изменение функции при малых приращениях	$\Delta f \approx df = f_x \Delta x + f_y \Delta y$	приращения переменных достаточно малы, и линейное приближение работает точно
нужно найти дифференциал не в общем виде, а в конкретной точке (x0, y0)	$df(x_0,y_0) = f_x(x_0,y_0)dx + f_y(x_0,y_0)dy$	сначала находят общие частные производные, а затем подставляют координаты точки
функция задана суммой произведений степеней переменных, например $x^n$ $y^m$	$d(x^n y^m) = n x^{n-1} y^m\,dx + m x^n y^{m-1}\,dy$	каждое слагаемое дифференцируют отдельно по правилу степенной функции

Примеры

Функция двух переменных. Дана функция $f(x,y)=x^2y$ . Частная производная по x, при фиксированном y, равна $f_x=2xy$ . Частная производная по y, при фиксированном x, равна $f_y=x^2$ . Полный дифференциал записывают как $df=2xy\,dx+x^2\,dy$ . В точке $(1,2)$ получают $df=4\,dx+1\,dy$ — это линейная оценка изменения функции при малых приращениях $dx$ и $dy$ в окрестности данной точки.

Приближённое вычисление. Дана функция $f(x,y)=x^2+y^3$ в точке $(2,1)$ . Частные производные в этой точке равны $f_x=2x=4$ и $f_y=3y^2=3$ .

При приращениях $dx=1$ и $dy=-1$ полный дифференциал равен $df=4\cdot1+3\cdot(-1)=4-3=1$ .

Это приближённая оценка изменения функции при таких приращениях аргументов.

Частые ошибки

Забывают умножить частную производную на соответствующее приращение dx или dy и складывают сами производные напрямую.
При функции трёх переменных пропускают слагаемое с частной производной по z и приращением dz.
Путают полный дифференциал с полной производной по одной переменной и вычисляют только одну частную производную вместо всех.

Коротко

Как найти полный дифференциал функции нескольких переменных — найти частную производную по каждой переменной, умножить каждую на соответствующее приращение и сложить результаты. Полный дифференциал даёт линейное приближение изменения функции при малых приращениях всех переменных.

Учебный бот Нейросовы

Бесплатный помощник по учёбе — не только по теме «Математика». Решит задачу по действиям, объяснит непонятное место своими словами, ответит на вопросы в конце параграфа.

Любой учебный вопрос
Понимает фото задания
Без регистрации

Спросить бота

Как найти полный дифференциал функции нескольких переменных

Разбор по случаям

Примеры

Частые ошибки

Коротко

Ещё по теме