Как найти сумму геометрической прогрессии

Чтобы понять, как найти сумму геометрической прогрессии, для конечного числа членов при $q \ne 1$ используют формулу $S_n = \frac{b_1(q^n-1)}{q-1}$, где $b_1$ — первый член, $q$ — знаменатель, $n$ — число членов.

Если $q=1$, все члены равны и сумма считается проще: $S_n = b_1 \cdot n$. Для бесконечно убывающей прогрессии, когда $|q|<1$, сумма всех бесконечных членов сходится к числу $S = \frac{b_1}{1-q}$.

Если известен не номер, а значение последнего члена, применяют формулу через $b_n$: $S_n = \frac{b_n q - b_1}{q-1}$.

Перед вычислением важно определить знаменатель прогрессии и решить, нужна конечная сумма или бесконечная.

Разбор по случаям

Примеры

Конечная прогрессия. Дана прогрессия с первым членом $b_1=3$, знаменателем $q=2$ и числом членов $n=4$.

Подставляем в формулу: $S_4 = \frac{3(2^4-1)}{2-1} = \frac{3\cdot15}{1}=45$.

Проверка сложением: $3+6+12+24=45$. Оба способа дают одинаковый результат, значит сумма прогрессии найдена верно.

Бесконечно убывающая. Дана прогрессия с первым членом $b_1=8$ и знаменателем $q=0{,}5$.

Модуль знаменателя меньше единицы, значит сумма сходится: $S = \frac{b_1}{1-q} = \frac{8}{1-0{,}5} = \frac{8}{0{,}5}=16$.

Члены прогрессии $8, 4, 2, 1, 0{,}5,\dots$ бесконечно уменьшаются, а их сумма стремится к числу $16$.

Частые ошибки

• Используют формулу конечной суммы прогрессии при q=1, из-за чего знаменатель дроби обращается в ноль.
• Путают число членов прогрессии n с её последним членом bn и подставляют в формулу совсем не то значение.
• Применяют формулу суммы бесконечно убывающей прогрессии при знаменателе, который не меньше единицы по модулю.

Коротко

Итак, как найти сумму геометрической прогрессии: для конечного числа членов подставляют первый член, знаменатель и их число в основную формулу, а для бесконечно убывающей прогрессии используют предельную формулу со знаменателем меньше единицы по модулю.