Как найти центральный угол

Как найти центральный угол, зависит от того, какие данные известны в задаче. Если дана длина дуги l и радиус R, угол в радианах равен их отношению, а в градусах результат умножают на 180/π. Если известна площадь сектора, угол находят из доли этой площади от площади всего круга. Для вписанного угла, опирающегося на ту же дугу, искомый угол ровно вдвое больше. На круговой диаграмме угол каждого сектора считают через долю данных от общей суммы.

$\alpha = \frac{l}{R}\cdot\frac{180^\circ}{\pi}$

Разбор по случаям

Примеры

По длине дуги. Радиус окружности $R = 9\text{ см}$, длина дуги $l = 3\pi \approx 9{,}42\text{ см}$.

Угол в радианах: $\alpha = \frac{l}{R} = \frac{3\pi}{9} = \frac{\pi}{3}$.

В градусах это $\alpha = 60°$ — треть развёрнутого угла, опирающаяся на дугу немного длиннее радиуса окружности.

По круговой диаграмме. Круговую диаграмму делят на 5 равных секторов, каждый из которых показывает одну из категорий данных.

Угол одного сектора: $\alpha = \frac{360°}{5} = 72°$.

Если одна из категорий занимает не пятую часть, а ровно 40% всех данных, её сектор получает угол $\alpha = 360° \cdot 0{,}4 = 144°$.

Частые ошибки

• Путают радианы и градусы при делении длины дуги на радиус и забывают домножить на 180/π.
• Складывают центральный угол с вписанным вместо использования соотношения вдвое большего значения.
• При расчёте угла сектора диаграммы забывают перевести проценты в доли перед умножением на 360°.

Коротко

Выбор формулы зависит от исходных данных — дуги, сектора, вписанного угла или доли диаграммы, а не от одной универсальной подстановки. Именно поэтому расчёт всегда начинают с вопроса, как найти центральный угол в конкретной задаче, и уже потом выбирают формулу.