Как найти угол между двумя плоскостями

Чтобы понять, как найти угол между двумя плоскостями, у каждой плоскости определяют вектор нормали по коэффициентам её уравнения. Косинус угла между плоскостями равен модулю скалярного произведения нормалей, делённому на произведение их длин. Модуль в числителе нужен, чтобы угол между плоскостями всегда получался острым или прямым, от 0 до 90 градусов, а не тупым. Такой способ применяют в любой задаче стереометрии, где плоскости заданы уравнением или координатами точек.

$\cos\varphi = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| \cdot |\vec{n_2}|}$

Разбор по случаям

Примеры

по уравнениям плоскостей. Плоскости заданы уравнениями $x - 5 = 0$ и $x + y - 3 = 0$. Их векторы нормали: $\vec{n_1} = (1;\, 0;\, 0)$ и $\vec{n_2} = (1;\, 1;\, 0)$.

Косинус угла: $\cos\varphi = \dfrac{|1\cdot1+0\cdot1+0\cdot0|}{\sqrt{1}\cdot\sqrt{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$, значит угол между плоскостями равен $\varphi = 45^\circ$.

Такой результат получается, потому что вторая плоскость наклонена к первой ровно на четверть прямого угла. Такой же результат получится, если рассматривать плоскости как грани прямоугольного параллелепипеда, повернутого на этот угол.

по нормальным векторам. Даны векторы нормали $\vec{n_1} = (1;\, 0;\, 0)$ и $\vec{n_2} = (1;\, \sqrt{3};\, 0)$.

Длина второго вектора: $|\vec{n_2}| = \sqrt{1+3} = 2$.

Косинус угла: $\cos\varphi = \dfrac{|1\cdot1+0\cdot\sqrt3+0\cdot0|}{1\cdot2} = \dfrac{1}{2}$, откуда угол между плоскостями $\varphi = 60^\circ$.

Вычисления не зависят от того, где именно расположены сами плоскости в пространстве. Такое значение угла часто встречается в задачах на правильные многогранники и наклонные призмы, где грани расположены несимметрично.

Частые ошибки

• Забывают взять модуль скалярного произведения нормалей и получают отрицательный косинус вместо положительного.
• Путают угол между плоскостями с углом между нормалями к ним, хотя эти углы могут оказаться смежными.
• Берут координаты векторов не из уравнений самих плоскостей, а из уравнений прямых, лежащих в них.

Коротко

Вопрос, как найти угол между двумя плоскостями, решается через нормальные векторы: их скалярное произведение делят на произведение длин и берут модуль результата. Такой угол всегда лежит в пределах от 0 до 90 градусов независимо от способа задания плоскостей.