Как найти угол треугольника, зная его стороны

Как найти угол треугольника, зная его стороны: применить теорему косинусов и выразить косинус искомого угла через квадраты сторон по формуле $\cos\alpha = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$, где буквой $a$ обозначена сторона, лежащая напротив угла $\alpha$.

После вычисления косинуса сам угол находят через арккосинус: $\alpha = \arccos\left(\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right)$.

Способ работает для любого треугольника, включая тупоугольный, если известны все три его стороны, а не только две из них.

Разбор по случаям

Примеры

Стороны 5, 6 и 7 см. Стороны треугольника $a=7\text{ см}$, $b=5\text{ см}$, $c=6\text{ см}$, угол $\alpha$ лежит напротив стороны $a$.

Косинус угла: $\cos\alpha=\frac{5^2+6^2-7^2}{2 \cdot 5 \cdot 6}=\frac{25+36-49}{60}=\frac{12}{60}=0,2$.

Угол: $\alpha=\arccos(0,2)\approx78,5^\circ$.

Такой угол больше прямого, но треугольник остаётся остроугольным по двум другим углам, сумма которых равна ста одному с половиной градусу. Проверить результат можно, сложив все три угла и убедившись, что сумма близка к ста восьмидесяти градусам.

Прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4 см. Катеты $a=3\text{ см}$, $b=4\text{ см}$, гипотенуза $c=5\text{ см}$.

Угол напротив катета $a$: $\sin\alpha=\frac{3}{5}=0,6$, откуда $\alpha=\arcsin(0,6)\approx36,9^\circ$.

Проверка через теорему косинусов даёт тот же результат, потому что обе формулы для прямоугольного треугольника согласованы между собой и дают одинаковый угол с точностью до градуса, что удобно для самопроверки решения без калькулятора.

Частые ошибки

• Путают, какая сторона стоит в числителе со знаком минус в теореме косинусов.
• Забывают взять арккосинус и оставляют в ответе значение косинуса вместо угла в градусах.
• Складывают квадраты сторон без учёта того, какая сторона лежит напротив искомого угла в задаче.

Коротко

Как найти угол треугольника, зная его стороны — выразить косинус угла через теорему косинусов и взять от результата арккосинус. Этот способ работает для остроугольного, тупоугольного и прямоугольного треугольника при любых заданных длинах трёх сторон.