Как найти внешний угол при вершине

Как найти внешний угол при вершине, зависит от того, какие данные известны в задаче. Если дан внутренний угол в этой же вершине, внешний угол находят по формуле: 180° минус внутренний угол. В треугольнике внешний угол равен сумме двух несмежных внутренних углов, не прилегающих к этой вершине. Для правильного многоугольника внешний угол равен 360°, делённым на число сторон фигуры, ведь все углы такой фигуры равны между собой.

$\gamma_{ext} = 180^\circ - \gamma$

Разбор по случаям

Примеры

через внутренний угол. Внутренний угол многоугольника при вершине равен $65^\circ$.

Внешний угол при той же вершине находим по формуле: $\gamma_{ext} = 180^\circ - 65^\circ = 115^\circ$.

Такой способ работает для любой вершины любого выпуклого многоугольника, если известен внутренний угол именно в этой точке, а не в соседней вершине фигуры. Проверить легко: сумма внутреннего и внешнего углов должна дать ровно $180^\circ$.

внешний угол треугольника. В треугольнике два угла, не смежных с искомой вершиной, равны $50^\circ$ и $60^\circ$.

Внешний угол при третьей вершине равен их сумме: $\gamma_{ext} = 50^\circ + 60^\circ = 110^\circ$.

Проверка: третий внутренний угол равен $180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$, а сумма всех трёх углов треугольника при этом даёт верные $180^\circ$, как и должно быть.

Частые ошибки

• Путают внешний угол с углом между сторонами и вычитают внутренний угол из 90° вместо 180°.
• В треугольнике складывают все три внутренних угла вместо двух несмежных с искомой вершиной.
• Для правильного многоугольника используют сумму внутренних углов вместо деления 360° на число сторон.

Коротко

Как найти внешний угол при вершине, определяют исходя из того, что дано в задаче: через внутренний угол, через два несмежных угла треугольника или через число сторон правильного многоугольника. Внешний и внутренний углы при одной вершине всегда в сумме дают 180°.