Как найти меньший угол треугольника

Как найти меньший угол треугольника: меньший угол всегда лежит напротив меньшей стороны. Если известны все три стороны, угол ищут через теорему косинусов: cos α = (b² + c² − a²), делённое на 2bc, где a — меньшая сторона. В прямоугольном треугольнике проще использовать тангенс: tg α = a/b, где a — меньший катет. Полученный угол проверяют через арккосинус или арктангенс на калькуляторе.

$\cos\alpha = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$

Разбор по случаям

Примеры

Прямоугольный треугольник. Прямоугольный треугольник с катетами $a = 5$ см и $b = 12$ см, гипотенуза равна $c = 13$ см.

Меньший угол лежит против меньшего катета, поэтому используем тангенс: $\tan\alpha = \frac{5}{12} \approx 0{,}417$.

Через арктангенс на калькуляторе получаем $\alpha \approx 22{,}6°$. Это и есть меньший угол данного треугольника, поскольку два других угла равны $90°$ и примерно $67{,}4°$, что заметно больше первого.

Проверка суммы углов: $22{,}6° + 90° + 67{,}4° = 180°$, вычисление верно.

Треугольник по трём сторонам. Треугольник со сторонами $a = 5$ см, $b = 6$ см и $c = 7$ см, прямого угла в нём нет.

Меньшая сторона равна 5, значит именно против неё лежит меньший угол: $\cos\alpha = \frac{6^2+7^2-5^2}{2\cdot6\cdot7} = \frac{60}{84} \approx 0{,}714$.

Через арккосинус получаем $\alpha \approx 44{,}4°$ — это меньший угол треугольника, а два других угла в сумме дают $180° - 44{,}4° = 135{,}6°$, что подтверждает общую сумму углов треугольника.

Проверка косинуса: $\cos 44{,}4° \approx 0{,}714$ — значение совпадает с тем, что получилось до вычисления арккосинуса.

Частые ошибки

• Путают, какой именно угол противолежит меньшей стороне, и находят ответ для другого угла.
• Забывают перевести показания калькулятора из радианов в градусы при вычислении арккосинуса или арктангенса.
• Не проверяют, что сумма всех трёх найденных углов треугольника равна ровно 180°, и пропускают ошибку в вычислениях.

Коротко

Как найти меньший угол треугольника — определить меньшую сторону и найти угол напротив неё через теорему косинусов или, в прямоугольном треугольнике, через тангенс. Сумма всех трёх углов треугольника всегда равна 180°, это удобно для проверки результата.