Как найти угол по двум сторонам треугольника

Как найти угол по двум сторонам треугольника, зависит от того, прямоугольный он или произвольный, и какие ещё данные даны в условии задачи. В прямоугольном треугольнике угол находят через тангенс или синус, составляя отношение известных сторон между собой. В произвольном треугольнике, где известны все три стороны, применяют теорему косинусов: квадраты сторон подставляют в формулу, находят косинус угла, а сам угол получают через арккосинус на калькуляторе или по таблице.

$\cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$

Разбор по случаям

Примеры

Прямоугольный треугольник. В прямоугольном треугольнике катеты равны $a = 5$ см и $b = 12$ см.

Тангенс искомого угла: $\tan A = \frac{a}{b} = \frac{5}{12} \approx 0{,}417$, значит $A = \arctan(0{,}417) \approx 22{,}6°$.

Этот угол лежит напротив меньшего катета и всегда острый, потому что сумма острых углов прямоугольного треугольника равна девяноста градусам, а второй угол равен примерно 67,4 градуса.

По трём сторонам. Стороны треугольника равны $a = 6$ см, $b = 7$ см и $c = 8$ см.

По теореме косинусов: $\cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} = \frac{36+49-64}{84} = 0{,}25$.

Значит, угол $C = \arccos(0{,}25) \approx 75{,}5°$ лежит против самой длинной из трёх сторон, а два других угла в сумме дают оставшиеся 104,5 градуса.

Частые ошибки

• Путают, какой катет противолежащий, а какой прилежащий искомому углу, и берут неверное отношение сторон.
• Забывают перевести результат арктангенса или арккосинуса из радиан в градусы прямо на калькуляторе.
• Применяют теорему косинусов, когда известны только две стороны, а третьей стороны в условии задачи нет вовсе.

Коротко

Как найти угол по двум сторонам треугольника, показывают тригонометрические формулы: тангенс и синус для прямоугольного треугольника, теорема косинусов для произвольного. Выбор формулы зависит от того, какие ещё данные известны, кроме самих сторон.