Как найти центральный угол треугольника, вписанного в окружность

Центральный угол — это угол с вершиной в центре окружности, опирающийся на ту же дугу, что и сторона треугольника. Как найти центральный угол треугольника, вписанного в окружность, проще всего через вписанный угол: центральный угол вдвое больше вписанного, если оба опираются на одну дугу. Если известны длина дуги и радиус, центральный угол в радианах равен отношению длины дуги к радиусу, затем переводится в градусы.

$\gamma = 2\alpha$

Разбор по случаям

Примеры

через вписанный угол. Вершина вписанного угла треугольника лежит на окружности, а сам угол опирается на дугу $BC$ и равен $\alpha = 40^\circ$.

По теореме о вписанном угле центральный угол при той же дуге вдвое больше вписанного: $\gamma = 2 \cdot 40^\circ = 80^\circ$.

Значит дуга $BC$ соответствует центральному углу $80^\circ$, а любой вписанный угол на оставшейся части окружности останется вдвое меньше этой величины.

через хорду и радиус. Сторона треугольника, служащая хордой окружности, равна $a = 6$ см, а радиус самой окружности тоже равен $r = 6$ см.

Находим синус половины искомого центрального угла по формуле: $\sin(\gamma/2) = \dfrac{a}{2r} = \dfrac{6}{2 \cdot 6} = 0{,}5$.

Значению синуса $0{,}5$ соответствует табличный угол $30^\circ$, поэтому половина искомого угла $\gamma/2 = 30^\circ$, а весь центральный угол в итоге равен $\gamma = 60^\circ$, что совпадает с углом равностороннего треугольника.

Частые ошибки

• Путают вписанный и центральный угол местами и делят вместо умножения на два.
• Забывают, что теорема о связи углов работает только для одной и той же дуги, а не для смежной.
• При расчёте через дугу и радиус не переводят результат из радианов в градусы.

Коротко

Центральный угол вдвое больше вписанного угла на той же дуге, а его также находят через длину дуги или хорду и радиус. Понимание того, как найти центральный угол треугольника, вписанного в окружность, помогает быстро решать задачи на вписанные фигуры.