Как найти угол треугольника по двум катетам

Отвечая, как найти угол треугольника по двум катетам, используют тангенс: $\tan\alpha = \frac{a}{b}$, где $a$ — катет, противолежащий искомому углу, а $b$ — прилежащий катет.

Сам угол находят через арктангенс этого отношения: $\alpha = \arctan\left(\frac{a}{b}\right)$.

Второй острый угол дополняет первый до 90°, поскольку сумма острых углов прямоугольного треугольника всегда равна прямому углу. Гипотенуза при этом расчёте вообще не нужна, важны только длины обоих катетов.

Разбор по случаям

Примеры

Катеты 3 и 4 см. Катеты прямоугольного треугольника равны $a = 3\text{ см}$ и $b = 4\text{ см}$.

Тангенс искомого угла равен $\tan\alpha = \frac{3}{4} = 0.75$.

По таблице арктангенсов получаем $\alpha \approx 37^\circ$.

Второй острый угол находят дополнением до 90°: $\beta = 90^\circ - 37^\circ = 53^\circ$.

Все углы треугольника: 90°, 37° и 53°, и их сумма действительно равна 180 градусам.

Равные катеты 6 и 6 см. Оба катета равны $a = 6\text{ см}$ и $b = 6\text{ см}$.

Тангенс угла равен $\tan\alpha = \frac{6}{6} = 1$, а значит $\alpha = 45^\circ$.

Поскольку катеты равны, второй острый угол тоже равен $\beta = 45^\circ$.

Гипотенузу при желании находят по теореме Пифагора: $c = \sqrt{6^2+6^2} \approx 8.49\text{ см}$.

Такой треугольник называют равнобедренным прямоугольным, и в нём всегда получаются углы 45°, 45° и 90°.

Частые ошибки

• Путают, какой катет противолежащий искомому углу, а какой прилежащий, и получают неверное значение угла.
• Используют синус или косинус вместо тангенса, хотя гипотенуза в условии задачи не дана.
• Забывают, что сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90°, а не 180°, как у произвольного треугольника.

Коротко

Угол в прямоугольном треугольнике по двум катетам находят через тангенс их отношения и таблицу арктангенсов. Разобравшись, как найти угол треугольника по двум катетам, легко получить и второй острый угол простым дополнением до 90 градусов.