Как находить скалярное произведение векторов на ЕГЭ

Как находить скалярное произведение векторов на ЕГЭ зависит от того, что дано в условии задачи. Если известны координаты векторов, произведение равно сумме произведений одноимённых координат. Если даны длины векторов и угол между ними, используют формулу с косинусом этого угла. На экзамене чаще встречаются координаты на плоскости или в пространстве, а формула с косинусом нужна для задач именно на угол между векторами. Иногда по известному произведению и модулям, наоборот, находят сам угол.

$\vec{a}\cdot\vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\alpha$

Разбор по случаям

Примеры

Координаты на плоскости. Пусть вектор $\vec{a} = (3; 4)$, а вектор $\vec{b} = (-1; 2)$ заданы координатами на плоскости в прямоугольной системе.

Скалярное произведение считаем по формуле $\vec{a}\cdot\vec{b} = a_x b_x + a_y b_y$, перемножая координаты с одинаковыми буквами.

Подставляем числа по порядку: $3\cdot(-1) + 4\cdot 2 = -3 + 8 = 5$.

Значит, произведение векторов равно $\vec{a}\cdot\vec{b} = 5$. Число положительное, поэтому угол между векторами острый, а не прямой и не тупой.

Через модули и угол. Даны длины векторов $|\vec{a}| = 6$ и $|\vec{b}| = 5$, а угол между ними на чертеже равен $\alpha = 60^\circ$.

Используем формулу через косинус: $\vec{a}\cdot\vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\alpha$, куда подставляем длины и значение угла.

Так как $\cos 60^\circ = 0{,}5$, получаем произведение $\vec{a}\cdot\vec{b} = 6\cdot 5\cdot 0{,}5 = 15$.

Результат положительный, значит угол между этими векторами острый, а не тупой и не прямой.

Частые ошибки

• Путают скалярное произведение с векторным и пытаются получить в ответе вектор вместо числа.
• Складывают все координаты подряд, а не перемножают попарно одноимённые координаты векторов.
• Забывают, что косинус тупого угла отрицателен, и получают ответ с неверным знаком.

Коротко

На плоскости оно равно сумме произведений координат, а через модули и угол — произведению длин на косинус угла между векторами. Именно так объясняют, Как находить скалярное произведение векторов на ЕГЭ.