Как найти квадрат длины вектора, ЕГЭ

Как найти квадрат длины вектора, ЕГЭ — сложить квадраты его координат: $|\vec{a}|^2 = x^2 + y^2$ на плоскости или $|\vec{a}|^2 = x^2+y^2+z^2$ в пространстве. Если вектор задан точками начала и конца, сначала находят его координаты как разность координат точек, а затем возводят их в квадрат и складывают.

Есть и другой способ: скалярное произведение вектора самого на себя тоже равно квадрату его длины: $|\vec{a}|^2 = \vec{a}\cdot\vec{a}$.

Извлекать корень не нужно, если в задаче требуется именно квадрат длины. Такой способ особенно полезен в задачах ЕГЭ на скалярное произведение и координатный метод.

Разбор по случаям

Примеры

по координатам на плоскости. Вектор задан координатами $\vec{a} = (3; 4)$.

Квадрат длины вектора равен сумме квадратов координат: $|\vec{a}|^2 = 3^2+4^2 = 9+16 = 25$.

Модуль вектора при этом равен $\sqrt{25} = 5$, но для ответа достаточно квадрата, равного 25. Такой расчёт занимает меньше времени, чем нахождение модуля через корень, если корень в ответе не нужен.

по координатам точек. Вектор задан точками начала $A(0;0)$ и конца $B(5;12)$.

Координаты вектора: $\vec{AB} = (5-0;\,12-0) = (5;12)$.

Квадрат длины: $|\vec{AB}|^2 = 5^2+12^2 = 25+144 = 169$.

Модуль вектора равен $\sqrt{169} = 13$, а квадрат длины вектора в этой задаче равен 169. Числа 5, 12 и 13 образуют пифагорову тройку, что удобно для проверки вычислений.

Частые ошибки

• Забывают, что квадрат длины вектора не требует извлечения корня, и лишний раз считают модуль.
• Путают координаты вектора с координатами одной из точек, забывая вычесть координаты начала, из-за чего результат получается совершенно неверным.
• Складывают координаты вектора вместо того, чтобы возвести каждую в квадрат перед сложением.

Коротко

Как найти квадрат длины вектора, ЕГЭ — сложить квадраты его координат по формуле $|\vec{a}|^2 = x^2+y^2(+z^2)$, не извлекая корень. Формула одинакова для плоскости и пространства, различие только в количестве слагаемых под знаком суммы.