Как найти скалярное произведение векторов, ЕГЭ математика

Как найти скалярное произведение векторов, ЕГЭ математика, требует одну из двух формул: через длины и угол между векторами: a·b = |a|·|b|·cos α, или через координаты: a·b = x_1x_2 + y_1y_2. Результат всегда число, а не вектор. Если векторы перпендикулярны, произведение равно нулю, потому что cos 90° = 0, а если сонаправлены — оно равно произведению их длин.

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos \alpha$

Разбор по случаям

Примеры

Произведение через длины и угол. Длина вектора $\vec{a}$ равна $|\vec{a}| = 4$, длина вектора $\vec{b}$ равна $|\vec{b}| = 5$, а угол между этими двумя векторами равен $\alpha = 60°$. Косинус данного угла из таблицы равен $\cos 60° = 0{,}5$.

Подставляем все известные числа в формулу произведения: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 4 \cdot 5 \cdot 0{,}5 = 10$.

Результат получился положительным, потому что угол между векторами острый, а не тупой и не прямой.

Произведение через координаты. Вектор $\vec{a}$ задан координатами $(3; 2)$, а вектор $\vec{b}$ задан координатами $(1; 4)$ в той же прямоугольной системе координат на плоскости.

Перемножаем и складываем соответствующие координаты обоих векторов между собой: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot 1 + 2 \cdot 4 = 3 + 8 = 11$.

Такой способ намного быстрее, если векторы уже даны координатами, а не длиной с углом между ними в условии задачи.

Частые ошибки

• Считают результат вектором и пытаются записать его в виде пары координат, а не обычного числа.
• Забывают взять косинус угла и просто умножают длины векторов друг на друга.
• Путают формулу через координаты и складывают x_1x_2 с y_1y_2 без умножения внутри.

Коротко

Скалярное произведение векторов — это число, которое находят через длины и косинус угла между ними или напрямую через координаты. Так отвечают на вопрос, как найти скалярное произведение векторов, ЕГЭ математика, в задачах на векторную алгебру.