Как найти длину суммы векторов по координатам

Как найти длину суммы векторов по координатам — сложить координаты векторов, а затем найти длину уже полученного суммарного вектора. Если $\vec{a}(x_1; y_1)$ и $\vec{b}(x_2; y_2)$, сумма имеет координаты $(x_1+x_2;\ y_1+y_2)$.

Длина суммы: $|\vec{a}+\vec{b}| = \sqrt{(x_1+x_2)^2 + (y_1+y_2)^2}$.

Складывать сразу длины исходных векторов нельзя — так теряется информация об их направлении. Этот способ работает для любых двух и более векторов, заданных на координатной плоскости своими числовыми координатами.

Разбор по случаям

Примеры

Сумма двух векторов. Векторы $\vec{a}(2; 1)$ и $\vec{b}(1; 3)$. Сумма координат: $(2+1;\ 1+3) = (3; 4)$.

Длина суммы: $|\vec{a}+\vec{b}| = \sqrt{3^2+4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$.

Складывать длины векторов $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$ отдельно было бы неверно — они не дают в сумме число 5, поскольку векторы направлены не вдоль одной прямой.

Сумма трёх векторов. Три вектора: $\vec{a}(1; 1)$, $\vec{b}(2; 2)$ и $\vec{c}(0; 1)$. Сумма координат по x: $1+2+0=3$, по y: $1+2+1=4$.

Длина суммы: $\sqrt{3^2+4^2} = \sqrt{25} = 5$.

Правило то же самое для любого числа слагаемых: сначала складывают координаты, а корень извлекают только один раз, в конце вычислений. Такой порядок действий совершенно не зависит от того, сколько именно векторов складывают вместе — хоть три, хоть пять.

Частые ошибки

• Сначала находят длины отдельных векторов по отдельности и складывают их между собой, получая заведомо неверный результат.
• Складывают только первые координаты x двух векторов, полностью забывая про вторые координаты y.
• Путают сумму векторов с их разностью и по ошибке вычитают координаты вместо правильного их сложения.

Коротко

Как найти длину суммы векторов по координатам, всегда решается в два шага: сложить координаты x и y отдельно, а затем один раз извлечь квадратный корень. Длина суммы почти никогда не равна сумме длин исходных векторов, ведь векторы обычно направлены под углом друг к другу, а не вдоль одной прямой.