Как найти длину отрезка касательной к окружности

Вопрос «Как найти длину отрезка касательной к окружности» решает теорема о перпендикулярности радиуса и касательной в точке касания. Расстояние от внешней точки до центра, радиус и искомый отрезок образуют прямоугольный треугольник, поэтому длина отрезка касательной к окружности равна корню из разности квадрата расстояния до центра и квадрата радиуса. Если точка лежит вне круга, а видны обе величины d и r, ответ получают в одно действие по этой формуле.

$t = \sqrt{d^2 - r^2}$

Разбор по случаям

Примеры

Расстояние и радиус даны. Точка удалена от центра окружности на $d = 13$ см, радиус окружности $r = 5$ см.

Радиус перпендикулярен касательной в точке касания, поэтому $t = \sqrt{d^2 - r^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$ см.

Здесь длина отрезка касательной к окружности равна 12 см, а стороны 5, 12 и 13 см образуют прямоугольный треугольник.

Дана секущая. От точки вне окружности проведена секущая: расстояние до ближней точки пересечения $a = 4$ см, а до дальней — $b = 9$ см.

По теореме о касательной и секущей $t^2 = a \cdot b = 4 \cdot 9 = 36$, откуда $t = 6$ см.

Этот способ применяют, когда радиус неизвестен, а секущая видна на чертеже.

Частые ошибки

• Путают радиус и диаметр окружности, из-за чего результат получается ровно вдвое неверным.
• Забывают, что радиус в точке касания перпендикулярен касательной, и пытаются применить теорему косинусов без нужды.
• В формуле секущей путают местами ближний и дальний отрезки, подставляя их не в ту часть произведения.

Коротко

Как найти длину отрезка касательной к окружности проще всего показывает теорема Пифагора: искомый отрезок равен корню из разности квадрата расстояния до центра и квадрата радиуса. Если вместо расстояния до центра дана секущая или угол между касательными, используют производные формулы, но результат всегда сводится к тому же прямоугольному треугольнику.