Как найти длину диагонали

Чтобы понять, как найти длину диагонали, стороны фигуры возводят в квадрат, складывают и извлекают квадратный корень — это теорема Пифагора. У прямоугольника и параллелепипеда стороны разные, у квадрата и куба они равны, поэтому формула упрощается. Достаточно знать длины сторон, подставить числа и вычислить корень, чтобы получить точное значение диагонали в тех же единицах измерения. Метод одинаков для любой фигуры, где диагональ соединяет несмежные вершины.

$d = \sqrt{a^2 + b^2}$

Разбор по случаям

Примеры

прямоугольник. Дан прямоугольник со сторонами $a = 6\text{ см}$ и $b = 8\text{ см}$, нужно найти длину диагонали по клетчатому чертежу. Длина диагонали здесь равна гипотенузе прямоугольного треугольника, построенного на сторонах фигуры.

По теореме Пифагора диагональ равна $d = \sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{36+64} = \sqrt{100} = 10\text{ см}$.

Числа 6, 8 и 10 образуют классическую пифагорову тройку, поэтому корень извлекается точно, без калькулятора и округления. Проверить результат можно обратным действием: $10^2 = 100$, а $6^2+8^2=36+64=100$, значения совпадают, значит вычисление выполнено верно.

параллелепипед. Коробка имеет измерения $a = 3\text{ см}$, $b = 4\text{ см}$ и $c = 12\text{ см}$.

Диагональ параллелепипеда находят по формуле $d = \sqrt{a^2+b^2+c^2} = \sqrt{9+16+144} = \sqrt{169} = 13\text{ см}$.

Это самый длинный отрезок внутри коробки, он соединяет противоположные вершины через объём фигуры, а не по грани. Такую диагональ применяют, например, чтобы узнать, поместится ли длинная палка или труба в упаковку без изгиба. Если хотя бы одно измерение неизвестно, длину диагонали вычислить нельзя — нужны все три величины сразу.

Частые ошибки

• Складывают длины сторон вместо возведения в квадрат и складывания квадратов под корнем.
• Забывают извлечь квадратный корень и оставляют в ответе сумму квадратов сторон.
• Путают формулу диагонали квадрата с формулой прямоугольника и умножают сторону на два вместо корня из двух.

Коротко

Так решается вопрос, как найти длину диагонали, для прямоугольника, квадрата и параллелепипеда: находят квадратный корень из суммы квадратов измерений. Метод не меняется — везде работает теорема Пифагора, только меняется число слагаемых под корнем.