Как найти длину катета

Чтобы понять, как найти длину катета прямоугольного треугольника, смотрят, какие именно данные приведены в условии задачи. Если известны гипотенуза и второй катет, применяют теорему Пифагора: $a = \sqrt{c^2 - b^2}$. Если известны гипотенуза и угол, искомую сторону находят через синус или косинус этого угла. Если же дана площадь фигуры и второй катет, длину получают из формулы площади через произведение двух катетов треугольника.

Разбор по случаям

Примеры

По теореме Пифагора. В прямоугольном треугольнике из школьной задачи по геометрии гипотенуза равна 13 см, а второй катет уже известен и составляет ровно 12 см. Чтобы найти длину искомого катета, применяют теорему Пифагора $a = \sqrt{c^2 - b^2}$.

Подставляем данные числа: $a = \sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = 5$ см.

Проверка обратной подстановкой показывает: $12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169 = 13^2$, равенство выполняется, значит нужная сторона найдена верно.

Через угол и гипотенузу. В другом треугольнике гипотенуза равна 10 см, а угол, лежащий напротив искомой стороны, составляет 30 градусов. Здесь удобнее использовать формулу $a = c \cdot \sin \alpha$, поскольку второй катет в условии не указан. Синус угла 30° равен 0.5, поэтому $a = 10 \cdot 0.5 = 5$ см. Такой способ выручает всегда, когда вместо стороны в задаче дан только угол треугольника.

Частые ошибки

• Путают катет с гипотенузой и подставляют в формулу Пифагора не ту сторону треугольника, которая нужна по условию задачи.
• При работе с углом применяют синус вместо косинуса и наоборот, перепутав прилежащий и противолежащий катет фигуры.
• Забывают, что в формуле площади катеты перемножаются между собой, и повторно делят площадь пополам при подстановке.

Коротко

Способ, как найти длину катета, всегда зависит от исходных данных задачи: две стороны дают теорему Пифагора, сторона с углом — тригонометрию, а площадь со стороной — формулу через произведение катетов. Любой из этих путей приводит к одному верному значению искомой стороны.