Как найти длину отрезка по координатам

Чтобы понять, как найти длину отрезка по координатам, из координат одного конца вычитают координаты другого отдельно по каждой оси, а затем полученные разности возводят в квадрат. Квадраты разностей складывают и из суммы извлекают квадратный корень — это и есть длина отрезка. На плоскости используют две координаты, в пространстве добавляется третья, а сам способ основан на теореме Пифагора.

$d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$

Разбор по случаям

Примеры

на плоскости. Даны точки $A(1;\, 2)$ и $B(4;\, 6)$ на плоскости, нужно найти длину отрезка $AB$. Разности координат: $x_2-x_1 = 4-1 = 3$, $y_2-y_1 = 6-2 = 4$.

По теореме Пифагора: $d = \sqrt{3^2+4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$.

Числа 3, 4 и 5 образуют классическую пифагорову тройку, поэтому корень извлекается точно, без округления и калькулятора. Если бы точки были заданы в пространстве, к сумме квадратов добавили бы ещё квадрат разности третьих координат перед извлечением корня.

в пространстве. Даны точки $A(0;\, 0;\, 0)$ и $B(2;\, 3;\, 6)$ в пространстве, нужно найти длину отрезка $AB$. Разности координат по каждой оси: $2-0=2$, $3-0=3$, $6-0=6$.

Длина отрезка равна $d = \sqrt{2^2+3^2+6^2} = \sqrt{4+9+36} = \sqrt{49} = 7$.

Здесь сумма квадратов трёх разностей случайно даёт точный квадрат числа, поэтому корень извлекается без калькулятора. Такой пример показывает, что способ одинаково хорошо работает и для маленьких, и для больших координат точек, включая нулевые значения в начале отсчёта.

Частые ошибки

• Забывают возвести разности координат в квадрат и складывают их такими, какие они есть.
• Путают формулу длины отрезка с формулой координат середины отрезка и делят разность координат пополам вместо извлечения корня.
• Для отрезка в пространстве забывают добавить под корень квадрат разности третьих координат.

Коротко

Так решается вопрос, как найти длину отрезка по координатам: разности координат концов возводят в квадрат, складывают и извлекают корень. Формула одинакова для плоскости и пространства, отличается только числом слагаемых под корнем.