Как найти длину дуги по хорде

Чтобы понять, как найти длину дуги по хорде, сначала через хорду $c$ и радиус $r$ находят центральный угол: $\theta=2\arcsin\frac{c}{2r}$, где угол получается сразу в радианах.

Затем длину дуги считают по формуле $L=r\theta$, подставляя угол именно в радианах, а не в градусах.

Если угол уже дан в градусах, его сначала переводят в радианы по формуле $\theta_{rad}=\theta_{deg}\cdot\frac{\pi}{180}$, а уже потом подставляют в формулу длины дуги.

Если дуга больше половины окружности, найденный через арксинус угол относится к меньшей дуге, а для большей дуги его вычитают из полного оборота.

$L = r\theta$

Разбор по случаям

Примеры

Радиус и хорда. Радиус окружности $r=10$ см, хорда $c=10$ см.

Центральный угол $\theta=2\arcsin\frac{10}{20}=2\arcsin0{,}5=2\cdot30^\circ=60^\circ=\frac{\pi}{3}$.

Длина дуги $L=r\theta=10\cdot\frac{\pi}{3}\approx10{,}47$ см, заметно длиннее самой хорды, потому что дуга изогнута, а хорда — прямой отрезок.

Полуокружность. Радиус окружности $r=7$ см, хорда равна диаметру $c=14$ см, значит дуга — ровно половина окружности.

Длина дуги $L=\pi r=3{,}14\cdot7\approx21{,}98$ см, это ровно половина длины всей окружности $2\pi r\approx43{,}96$ см, что легко проверить простым удвоением результата.

Частые ошибки

• Подставляют центральный угол в градусах напрямую в формулу L=rθ, не переводя его сначала в радианы.
• Путают длину дуги с длиной хорды и по ошибке считают их равными для любого центрального угла.
• При вычислении угла через хорду забывают, что арксинус даёт лишь половину угла, и не удваивают результат.

Коротко

Итог: как найти длину дуги по хорде — определить центральный угол через хорду и радиус, перевести его в радианы, если нужно, и умножить на радиус. Для полуокружности длина дуги равна πr, то есть половине длины всей окружности.