Как найти длину вектора a, b, c

Как найти длину вектора a, b, c: если это координаты вектора $\vec{v} = (a; b; c)$ в пространстве, длину находят по формуле $|\vec{v}| = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$ — это обобщённая теорема Пифагора для трёх измерений.

Если a, b, c — координаты точек начала и конца, сначала находят разность координат конца и начала, а затем подставляют получившиеся числа в ту же формулу корня из суммы квадратов. Результат — положительное число, равное расстоянию от начала координат до конца вектора.

Разбор по случаям

Примеры

Вектор с координатами 2, 3, 6. Вектор задан координатами $a=2$, $b=3$, $c=6$.

Длина равна $|\vec v| = \sqrt{2^2+3^2+6^2} = \sqrt{4+9+36} = \sqrt{49} = 7$.

Корень извлекается точно, потому что числа подобраны как пифагорова тройка в пространстве, а не потому что так бывает всегда.

Вектор по двум точкам A и B. Даны точки $A(1;2;3)$ и $B(4;6;15)$.

Координаты вектора: $\vec{AB} = (4-1;\,6-2;\,15-3) = (3;4;12)$.

Длина вектора: $|\vec{AB}| = \sqrt{3^2+4^2+12^2} = \sqrt{9+16+144} = \sqrt{169} = 13$.

Если бы точки поменяли местами, длина вектора BA получилась бы точно такой же.

Частые ошибки

• Складывают координаты вместо суммы их квадратов и получают неверное подкоренное выражение.
• При работе с точками путают порядок вычитания и находят вектор BA вместо AB, теряя знак координат.
• Забывают одну из трёх координат в пространстве и считают длину как для вектора на плоскости.

Коротко

Как найти длину вектора a, b, c, зависит от того, заданы ли числа как координаты самого вектора или как координаты точек начала и конца. В обоих случаях итоговая длина — это корень из суммы квадратов соответствующих координат.