Как найти длину хорды окружности

Как найти длину хорды окружности, зависит от исходных данных. Если известны радиус R и центральный угол α, применяют формулу L = 2R·sin(α/2). Если известно расстояние d от центра до хорды, используют теорему Пифагора: L = 2√(R² − d²). Если даны координаты концов хорды, длину находят как расстояние между двумя точками: L = √((x2−x1)² + (y2−y1)²). Такой выбор формулы упрощает вычисление длины хорды окружности в любой конкретной задаче.

$L = 2R\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)$

Разбор по случаям

Примеры

По центральному углу. Радиус окружности $R = 5\text{ см}$, центральный угол $\alpha = 90°$.

Половина угла $45°$, $\sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Длина хорды: $L = 2 \cdot 5 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2}\text{ см}$, то есть примерно $7{,}07\text{ см}$.

По координатам концов. Концы хорды — точки $A(2;3)$ и $B(6;6)$. Разности координат: $\Delta x = 6-2 = 4$, $\Delta y = 6-3 = 3$.

Длина хорды: $L = \sqrt{4^2+3^2} = \sqrt{16+9} = \sqrt{25} = 5$.

Числа образуют египетский треугольник 3-4-5.

Частые ошибки

• Забывают делить угол пополам внутри синуса и считают L = 2R·sin(α), а не sin(α/2).
• При работе с координатами путают порядок вычитания или забывают возвести одну из разностей в квадрат.
• Путают радиус с диаметром при подстановке в формулу и получают хорду вдвое меньше или больше верной.

Коротко

Выбор формулы зависит от того, что дано: центральный угол, расстояние от центра до хорды или координаты её концов. Все три способа отвечают на вопрос, как найти длину хорды окружности, и дают одинаково точный результат при верной подстановке чисел.