Как найти длину хорды окружности, зная радиус

Как найти длину хорды окружности, зная радиус, зависит от того, какая ещё величина дана: центральный угол, расстояние от центра до хорды или длина дуги. Если известен центральный угол α, применяют формулу L = 2R·sin(α/2). Если известно расстояние d от центра до хорды, используют теорему Пифагора: L = 2√(R² − d²). Оба способа дают точный результат при верной подстановке значений.

$L = 2R\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)$

Разбор по случаям

Примеры

По центральному углу. Радиус окружности $R = 10\text{ см}$, центральный угол $\alpha = 60°$. Половина угла $30°$, $\sin 30° = 0{,}5$.

Длина хорды: $L = 2 \cdot 10 \cdot 0{,}5 = 10\text{ см}$.

Хорда равна радиусу — это частный случай угла в 60°, где треугольник получается равносторонним.

По расстоянию до хорды. Радиус $R = 13\text{ см}$, расстояние от центра до хорды $d = 5\text{ см}$.

По теореме Пифагора половина хорды: $\sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{144} = 12\text{ см}$.

Вся хорда: $L = 2 \cdot 12 = 24\text{ см}$.

Числа подобраны так, что все стороны — целые.

Частые ошибки

• Забывают делить угол пополам внутри синуса и считают L = 2R·sin(α), а не sin(α/2).
• Подставляют вписанный угол вместо центрального напрямую в формулу с центральным углом, не удвоив его.
• Держат калькулятор в режиме радиан вместо градусов или наоборот и получают неверное значение синуса.

Коротко

Формула L = 2R·sin(α/2) остаётся основным способом получить хорду по радиусу и центральному углу, а при известном расстоянии до хорды применяют теорему Пифагора. Оба варианта показывают, как найти длину хорды окружности, зная радиус, без построения дополнительных линий на чертеже.